首发于统计信号处理——估计和检测理论

统计信号处理基础——检测理论

攻城狮

哈尔滨工业大学信息与通信工程硕士

Chapter3 检测理论Ⅰ

一、一些基本术语

虚警概率 P_{FA}=P(H_1;H_0)

检测概率 P_{D}=P(H_1;H_1)

漏警概率 P_{M}=P(H_0;H_1)

H_1 为备选假设， H_0 为零假设；

对于给定的 P_{FA}=\alpha ，使得 P_D 最大的判决为 \begin{align}L(\mathbf{x})=\frac{p(\mathbf{x};H_1)}{p(\mathbf{x};H_0)}\end{align} 上式称为似然比，其中门限 \gamma 由 \begin{align}P_{FA}=\int_{{\mathbf{x}:L(\mathbf{x})>\gamma}}p(\mathbf{x};H_0)d\mathbf{x}=\alpha\end{align} 待定得到。

三、右尾函数

如果 x\sim N(\mu,\sigma^2) ,则门限为 \gamma' 的右尾函数为 Q((\gamma'-\mu)/\sigma)

右尾函数性质： 1-Q(x)=Q(-x)

四、均值偏移高斯问题

若假设检验问题为\begin{eqnarray} y = \begin{cases} N(\mu_0,\sigma^2) &H_0 \\ N(\mu_1,\sigma^2) &H_1 \end{cases} \end{eqnarray} ，则偏移系数为

\begin{align}d^2=\frac{(E(T;H_1)-E(T;H_0))^2}{Var(T;H_0)}=\frac{(\mu_1-\mu_0)^2}{\sigma^2}\end{align}

虚警概率

\begin{align}P_{FA}=P(T>\gamma';H_0)=Q(\frac{\gamma'-\mu_0}{\sigma})\end{align}

检测概率

\begin{align}P_{D}=P(T>\gamma';H_1)=Q(\frac{\gamma'-\mu_1}{\sigma})\end{align}

则可推出

P_D=Q(Q^{-1}(P_{FA})-\sqrt{d^2})

五、Bayesian Risk

1、最小错误概率

P_e=(H_0 \vert H_1)P(H_1)+(H_1 \vert H_0)P(H_0)

\begin{align}\frac{P(\mathbf{x}\vert H_1)}{P(\mathbf{x}\vert H_0)}>\frac{P( H_1)}{P(H_0)}=\gamma\end{align}

2、MAP

Decide\quad H_1,if \\P(H_1\vert \mathbf{x})>P(H_0\vert \mathbf{x})

3、ML

当先验概率相等时（即 P( H_0)=P( H_1) ），MAP检测器简化为ML检测器

Decide\quad H_1,if \\P(\mathbf{x}\vert H_1)>P(\mathbf{x}\vert H_0)

Chapter 4 确定信号检测

一、匹配滤波器matched-filter（或叫correlator相关器）

\begin{align}T(\mathbf{x})=\sum_{n=0}^{N-1}x[n]s[n]\end{align}

匹配滤波器能使FIR输出信号的信噪比达到最大；

二、匹配滤波器性能

给定 H_0:x[n]=w[n]\\H_1:x[n]=s[n]+w[n]

Decide H_1 ,if \begin{align}\sum_{n=0}^{N-1}x[n]s[n]>\gamma\end{align}

\begin{align}E(T;H_0)=E\left[\sum_{n=0}^{N-1}w[n]s[n]\right]=0 \end{align}

\begin{align}E(T;H_0)=E\left[\sum_{n=0}^{N-1}(s[n]+w[n])s[n]\right]=0\end{align}

\begin{align}Var(T;H_0)=Var\left[\sum_{n=0}^{N-1}w[n]s[n]\right]=\sigma^2\sum_{n=0}^{N-1}s^2[n]=\sigma^2\varepsilon\end{align}

\begin{align}Var\left[\sum_{n=0}^{N-1}(w[n]+s[n])s[n]\right]=\sigma^2\varepsilon\end{align}

则有 \begin{eqnarray} T(\mathbf{x}) = \begin{cases} N(0,\sigma^2\varepsilon) &H_0 \\ N(\varepsilon,\sigma^2\varepsilon) &H_1 \end{cases} \end{eqnarray}

\begin{align}P_{FA}=Q(\frac{\gamma'}{\sqrt{\sigma^2\varepsilon}})\Rightarrow \gamma'=\sqrt{\sigma^2\varepsilon}Q^{-1}(P_{FA})\end{align}

\begin{align}P_D=Q(\frac{\gamma'-\varepsilon}{\sqrt{\sigma^2\varepsilon}})=Q(Q^{-1}(P_{FA})-\sqrt{\frac{\varepsilon}{\sigma^2}})\end{align}

由上式推导可知，无论 s[n] 是哪种波形，只要波形能量一致，检测性能一样；
匹配滤波器时高斯白噪声中已知信号的最佳检测器；

三、广义匹配滤波器

当噪声不是白噪声时，即 \mathbf{w}\sim N(0,\mathbf{C}) 时，检测统计量为

T(\mathbf{x})=\mathbf{x^TC^{-1}s}>\gamma'

由于 \mathbf{C^{-1}} 是正定的，将其进行白化处理，即 \mathbf{C^{-1}=D^TD}

则 T(\mathbf{x})=\mathbf{x^T(D^TD)^{-1}s=x^TD^TDs=x'^Ts'}

性能

检测概率

\begin{align}P_D=Q(Q^{-1}(P_{FA})-\sqrt{\mathbf{s^TC^{-1}s}})\end{align}

此刻与信号波形有关。

四、线性模型

假设检测 \\H_0:\mathbf{x=w}\\H_1:\mathbf{x}=\mathbf{H\theta_1+w}

其中， \mathbf{s=H\theta_1} ,简单带入到匹配滤波器公式即可

T(\mathbf{x})=\mathbf{x^TC^{-1}H\theta_1}

Chapter 5 随机信号检测

一、随机信号检测

1、最一般情况 \\\begin{eqnarray} \begin{cases} x[n]=w[n]&H_0 \\ x[n]=s[n]+w[n] &H_1 \end{cases} \end{eqnarray}

其中， w\sim N(0,C_w),s\sim N(\mu_s,C_s) ，则检测统计量 T(\mathbf{x}) 为

T(\mathbf{x})=\frac{1}{2}\mathbf{x^T[C_w^{-1}C_s(C_w+C_s)^{-1}]x+x^T(C_w+C_s)^{-1}\mu_s}

2、确定信号（ C_s=0,\mu_s=s (已知)）

T(\mathbf{x})=\mathbf{x^TC_w^{-1}s}\Rightarrow 广义匹配滤波器

3、零均值WSS信号，白噪声 （C_s=\mathbf{\sigma_s^2I,\mu_s=0,C_w=\sigma^2I}）

T(\mathbf{x})=\sum_{n=0}^{N-1}x^2[n]\Rightarrow 能量检测器

4、相关信号方差，白噪声，信号零均值 (\mathbf{C_w=\sigma^2I} )

T(\mathbf{x})=\mathbf{x^T\hat s}\

hat s=\mathbf{C_s(C_s+\sigma^2I)^{-1}x}\Rightarrow 估计相关器

（因为用到了MMSE估计算法，先估计变量，所以叫估计相关器）

5、加权形式的能量检测器

T(\mathbf{x})=\mathbf{x^TC_s(C_s+\sigma^2I)^{-1}x}

将 C_s 特征值分解，有 \mathbf{V^TC_sV}=\mathbf{\Lambda_s}\Rightarrow \mathbf{C_s}=\mathbf{V\Lambda_sV^T}

\begin{align}T(\mathbf{x})=\mathbf{y^T\Lambda_s(\Lambda_s+\sigma^2I)^{-1}y}=\sum_{n=0}^{N-1}\frac{\Lambda_{s_n}}{\Lambda_{s_n}+\sigma^2}y^2[n]\end{align}

6、相关信号，相关噪声

\begin{align}T(\mathbf{x})=\frac{1}{2}\mathbf{x^T[C_w^{-1}Cs(C_w+C_s)^{-1}]x}=\frac{1}{2}\mathbf{x^TC_w^{-1}\hat s}\end{align}

二、线性模型

\\H_0:\mathbf{x=w},w\sim N(0,\sigma^2\mathbf{I})\\H_0:\mathbf{x=H\theta+w},\theta\sim N(0,\mathbf{C_{\theta}})

\mathbf{w} 和 \mathbf{\theta} 相互独立，则检测统计量为

T(\mathbf{x})=\mathbf{x^THC_{\theta}H^T(HC_{\theta}H^T+\sigma^2I)^{-1}x}

Chapter 6 检测理论Ⅱ

检测理论Ⅰ都假设已知 P(\mathbf{x};H_1) 和 P(\mathbf{x};H_0) ，检测理论Ⅱ主要讨论符合假设检验（其PDF具有未知参数）包括：

一致最大势检验UMP
贝叶斯方法
广义似然比检验GLRT

一、一致最大势检验UMP

两种假设条件下接收信号 x的PDF为 P(\mathbf{x};\theta_0,H_0) 和 P(\mathbf{x};\theta_1,H_1) ，其中 \theta_0 和 \theta_1 分别为 H_0 和 H_1 假设条件下的未知参数；
\theta_0 和 \theta_1 已知时，UMP就会变成常规的最大似然比检测；
当UMP存在时，必须使用“单边参数检验”，任何其他检测性能都比UMP差，“双边检验”永不会产生UMP；
当UMP不存在时，可使用次优检测，并与Chairvoyant detector（假设未知参数已知时设计的NP检测器）对比；

二、贝叶斯方法

如果先验PDF分别用 P(\theta_0) 和 P(\theta_1) 来表示，则数据PDF为： \begin{align}P(\mathbf{x};H_0)=\int_{}^{}P(\mathbf{x}\vert\theta_0;H_0)P(\theta_0)d\theta_0\end{align}

\begin{align}P(\mathbf{x};H_1)=\int_{}^{}P(\mathbf{x}\vert\theta_1;H_1)P(\theta_1)d\theta_1\end{align}

Decide H_1 ，if

\begin{align}\frac{P(\mathbf{x};H_1)}{P(\mathbf{x};H_0)}=\frac{P(\mathbf{x}\vert\theta_1;H_1)P(\theta_1)d\theta_1}{P(\mathbf{x}\vert\theta_0;H_0)P(\theta_0)d\theta_0}>\gamma'\end{align}