首发于数据结构与算法

图的应用(1)-连通图的最小生成树(Prim算法和Kruskal算法)

GhostClock

( ˙˘˙ )

连通图的生成树:

是一个极小的连通图，它含有图中全部的N个顶点，但是只足以构成一颗树的N-1条边。

必须满足三个条件：

连通图生成树的判断：

下面4幅图中哪个是连通图的最小生成树?

满足最小生成树的三个条件的只有图2。所以图2是连通图的最小生成树。

阿里的面试题

假设目前优N个顶点，每个顶点链接的路径不一样，请你设计一个算法，快速找出能覆盖所以顶点的路径。

注意：该题并不是求两点间的最短路径，而是设计一个路线，能够覆盖所有顶点。

方案一：

11+26+20+22+18+21+24+19 = 161

方案二：

8+12+10+11+17+19+16+7=100

方案三：

8+12+10+11+16+19+16+7=99

上面三种方案中，第三种为最优解。

那么有没有一种算法能精准的算出网图的最优解呢？

方法就是最小生出树，即把连通图以最小代价生出的树，叫做最小生成树。

保存图

先把上面的图用邻接矩阵存储起来。关于邻接矩阵存图，可以看我上篇文章【图的存储】相关内容。

最后得到结构为：

数据结构：

#include "math.h"
#include "time.h"

#define OK 1
#define ERROR 0
#define TRUE 1
#define FALSE 0

#define MAXEDGE 20
#define MAXVEX 20
#define INFINITYC 65535

typedef int Status;    /* Status是函数的类型,其值是函数结果状态代码，如OK等 */

typedef struct
{
    int arc[MAXVEX][MAXVEX];
    int numVertexes, numEdges;
}MGraph;

创建邻接矩阵：

/*创建邻接矩阵*/
void CreateMGraph(MGraph *G)/* 构件图 */
{
    int i, j;
    
    /* printf("请输入边数和顶点数:"); */
    G->numEdges=15;
    G->numVertexes=9;
    
    for (i = 0; i < G->numVertexes; i++)/* 初始化图 */
    {
        for ( j = 0; j < G->numVertexes; j++)
        {
            if (i==j)
                G->arc[i][j]=0;
            else
                G->arc[i][j] = G->arc[j][i] = INFINITYC;
        }
    }
    
    G->arc[0][1]=10;
    G->arc[0][5]=11;
    G->arc[1][2]=18;
    G->arc[1][8]=12;
    G->arc[1][6]=16;
    G->arc[2][8]=8;
    G->arc[2][3]=22;
    G->arc[3][8]=21;
    G->arc[3][6]=24;
    G->arc[3][7]=16;
    G->arc[3][4]=20;
    G->arc[4][7]=7;
    G->arc[4][5]=26;
    G->arc[5][6]=17;
    G->arc[6][7]=19;
    
    for(i = 0; i < G->numVertexes; i++)
    {
        for(j = i; j < G->numVertexes; j++)
        {
            G->arc[j][i] =G->arc[i][j];
        }
    }
    
}

普里姆(Prim)算法

思路：

定义两个数组，lowcost，arjvex；arjvex用来保存顶点下标；lowcost用开保存顶点之间的权值；
初始化两个数组，从v0开始寻找最小生成树，默认v0是最小生成树上的第一顶点；
循环lowcost数组，根据权值找到顶点k；
更新lowcost数组；
循化所有顶点，找到与顶点k有关的顶点，并更新lowcost数组和arjvex数组。

注意：
更新lowcost数组与arjvex的条件
1.与顶点k之间有链接
2.当前结点j没有加入过最小生成树
3.顶点k与当前顶点j之间的权值小于顶点j与其他顶点k之间的权值，则更新。（简单说就是要比较之前存储的值要小，则更新）。

将与V0相关的V1-V8的所有顶点赋值对应的权值，并且arjvex[1~8]都赋值为0，表示都是与顶点V0相关的顶点。如下图所示:

如上图所示，这里定义两个数组【lowcost，arjvex】，数组lowcost存顶点之间的权值，数组arjvex保存相关顶点下标。

/* Prim算法生成最小生成树 */
void MiniSpanTree_Prim(MGraph G)
{
    int min, i, j, k;
    int sum = 0;
    /* 保存相关顶点下标 */
    int adjvex[MAXVEX];
    /* 保存相关顶点间边的权值 */
    int lowcost[MAXVEX];
    
    /* 初始化第一个权值为0，即v0加入生成树 */
    /* lowcost的值为0，在这里就是此下标的顶点已经加入生成树 */
    lowcost[0] = 0;
    
    /* 初始化第一个顶点下标为0 */
    adjvex[0] = 0;
    
    //1. 初始化
    for(i = 1; i < G.numVertexes; i++)    /* 循环除下标为0外的全部顶点 */
    {
        lowcost[i] = G.arc[0][i];    /* 将v0顶点与之有边的权值存入数组 */
        adjvex[i] = 0;                    /* 初始化都为v0的下标 */
    }
    
    //2. 循环除了下标为0以外的全部顶点, 找到lowcost数组中最小的顶点k
    for(i = 1; i < G.numVertexes; i++)
    {
        /* 初始化最小权值为∞， */
        /* 通常设置为不可能的大数字如32767、65535等 */
        min = INFINITYC;
        
        j = 1;k = 0;
        while(j < G.numVertexes)    /* 循环全部顶点 */
        {
            /* 如果权值不为0且权值小于min */
            if(lowcost[j]!=0 && lowcost[j] < min)
            {
                /* 则让当前权值成为最小值,更新min */
                min = lowcost[j];
                /* 将当前最小值的下标存入k */
                k = j;
            }
            j++;
        }
        
        /* 打印当前顶点边中权值最小的边 */
        printf("(V%d, V%d)=%d\n", adjvex[k], k ,G.arc[adjvex[k]][k]);
        sum+=G.arc[adjvex[k]][k];
        
        /* 3.将当前顶点的权值设置为0,表示此顶点已经完成任务 */
        lowcost[k] = 0;
        
        /* 循环所有顶点,找到与顶点k 相连接的顶点
         1. 与顶点k 之间连接;
         2. 该结点没有被加入到生成树;
         3. 顶点k 与 顶点j 之间的权值 < 顶点j 与其他顶点的权值,则更新lowcost 数组;
         
         */
        for(j = 1; j < G.numVertexes; j++)
        {
            /* 如果下标为k顶点各边权值小于此前这些顶点未被加入生成树权值 */
            if(lowcost[j]!=0 && G.arc[k][j] < lowcost[j])
            {
                /* 将较小的权值存入lowcost相应位置 */
                lowcost[j] = G.arc[k][j];
                /* 将下标为k的顶点存入adjvex */
                adjvex[j] = k;
            }
        }
    }
    printf("sum = %d\n",sum);
}

使用并打印

printf("最小生成树_Prim算法\n");
MGraph G;
CreateMGraph(&G);
MiniSpanTree_Prim(G);

克鲁斯卡尔(Kruskal)算法

思路：

将邻接矩阵转换为数组；
对边表数组根据权值按照从小到大的顺序排列
遍历所有边，通过parent数组找到边的链接信息，避免闭环；
如果不存在闭环问题，则加入到最小生成树中，并且修改parent数组。

边表的定义：

/* 对边集数组Edge结构的定义 */
typedef struct
{
    int begin;
    int end;
    int weight;
}Edge ;

生成最小生成树

/* 生成最小生成树 */
void MiniSpanTree_Kruskal(MGraph G)
{
    int i, j, n, m;
    int sum = 0;
    int k = 0;
    /* 定义一数组用来判断边与边是否形成环路
     用来记录顶点间的连接关系. 通过它来防止最小生成树产生闭环;*/
    
    int parent[MAXVEX];
    /* 定义边集数组,edge的结构为begin,end,weight,均为整型 */
    Edge edges[MAXEDGE];
    
    /*1. 用来构建边集数组*/
    for ( i = 0; i < G.numVertexes-1; i++)
    {
        for (j = i + 1; j < G.numVertexes; j++)
        {
            //如果当前路径权值 != ∞
            if (G.arc[i][j]<INFINITYC)
            {
                //将路径对应的begin,end,weight 存储到edges 边集数组中.
                edges[k].begin = i;
                edges[k].end = j;
                edges[k].weight = G.arc[i][j];
                
                //边集数组计算器k++;
                k++;
            }
        }
    }
    
    //2. 对边集数组排序
    sort(edges, &G);
    
    
    //3.初始化parent 数组为0. 9个顶点;
    // for (i = 0; i < G.numVertexes; i++)
    for (i = 0; i < MAXVEX; i++)
        parent[i] = 0;
    
    //4. 计算最小生成树
    printf("打印最小生成树：\n");
    /* 循环每一条边 G.numEdges 有15条边*/
    for (i = 0; i < G.numEdges; i++)
    {
        //获取begin,end 在parent 数组中的信息;
        //如果n = m ,将begin 和 end 连接,就会产生闭合的环.
        n = Find(parent,edges[i].begin);
        m = Find(parent,edges[i].end);
        //printf("n = %d,m = %d\n",n,m);
        
        /* 假如n与m不等，说明此边没有与现有的生成树形成环路 */
        if (n != m)
        {
            /* 将此边的结尾顶点放入下标为起点的parent中。 */
            /* 表示此顶点已经在生成树集合中 */
            parent[n] = m;
            
            /*打印最小生成树路径*/
            printf("(%d, %d) %d\n", edges[i].begin, edges[i].end, edges[i].weight);
            sum += edges[i].weight;
        }
    }
    
    printf("sum = %d\n",sum);
}

工具方法

/* 交换权值以及头和尾 */
void Swapn(Edge *edges,int i, int j)
{
    int tempValue;
    
    //交换edges[i].begin 和 edges[j].begin 的值
    tempValue = edges[i].begin;
    edges[i].begin = edges[j].begin;
    edges[j].begin = tempValue;
    
    //交换edges[i].end 和 edges[j].end 的值
    tempValue = edges[i].end;
    edges[i].end = edges[j].end;
    edges[j].end = tempValue;
    
    //交换edges[i].weight 和 edges[j].weight 的值
    tempValue = edges[i].weight;
    edges[i].weight = edges[j].weight;
    edges[j].weight = tempValue;
}

/* 对权值进行排序 */
void sort(Edge edges[],MGraph *G)
{
    //对权值进行排序(从小到大)
    int i, j;
    for ( i = 0; i < G->numEdges; i++)
    {
        for ( j = i + 1; j < G->numEdges; j++)
        {
            if (edges[i].weight > edges[j].weight)
            {
                Swapn(edges, i, j);
            }
        }
    }
    
    printf("边集数组根据权值排序之后的为:\n");
    for (i = 0; i < G->numEdges; i++)
    {
        printf("(%d, %d) %d\n", edges[i].begin, edges[i].end, edges[i].weight);
    }
    
}

/* 查找连线顶点的尾部下标 */
//根据顶点f以及parent 数组,可以找到当前顶点的尾部下标; 帮助我们判断2点之间是否存在闭环问题;
int Find(int *parent, int f)
{
    while ( parent[f] > 0)
    {
        f = parent[f];
    }
    return f;
}

使用并打印：

printf("Hello,最小生成树_Kruskal算法\n");
MGraph G;
CreateMGraph(&G);
MiniSpanTree_Kruskal(G);

编辑于 2020-05-10 12:53

算法

最小生成树

图算法

文章被以下专栏收录

数据结构与算法

数据结构和算法