地下水流动微分方程
根据达西定律和水均衡原理建立潜水和承压水二维不稳定流动的微分方程，而潜水和承压水二维稳定流动问题可以看作不稳定问题的特殊情况。
一、潜水二维不稳定流动微分方程
对于一般的潜水流动，等水头线并非铅垂线；严格地说潜水流动是三维的，但自然界大多数地下水流动满足裘布衣假定——任何铅垂线上的水头值几乎相等。这一假定使我们能把实质上三维流动问题简化为二维问题来研究。下面就依据裘布衣假定，根据达西定律和水均衡原理建立潜水二维流动微分方程。
设渗流区为 D ，取 xoy 平面为水平坐标面， z 坐标为渗流场中空间位置高度（图2）。
如图2所示，在渗流区内划出一块含水层作为均衡区。它的上界面是潜水面，下界面是隔水底板的顶面，四周是两组分别相距 \Delta_{x} 和 \Delta_{y} 的垂直断面，这一均衡区在水平面上的投影区域为 \Delta_{x}\Delta_{y} 。流入流出项包括四个侧面的水平流动和顶面的垂直流动（降雨入渗补给和蒸发排泄等）。
设 V_{x}和V_{y} 分别表示 x 方向和 y 方向的渗透流速， H 为潜水面标高， Z 为隔水底板标高。
当裘布衣假定满足，则在 \Delta_{t} 时间段内，从 x 方向流入的水量为：
V_{x}\Delta_{y}\Delta_{t}（H-Z）_{x-\frac{1}{2}\Delta_{x}}\\
而从 x 方向流出的水量为：
V_{x}\Delta_{y}\Delta_{t}（H-Z）_{x+\frac{1}{2}\Delta_{x}}\\
因此在 \Delta_{t} 时间段内沿x方向流入与流出的水量之差为：
\left(V_{x}（H-Z）_{x-\frac{1}{2}\Delta_{x}}-V_{x}（H-Z）_{x+\frac{1}{2}\Delta_{x}}\right)\Delta_{y}\Delta_{t}=-\frac{∂}{∂x}\left(V_{x}（H-Z）\right)|_{ξ}\Delta_{x}\Delta_{y}\Delta_{t}\\
同理可得，在 \Delta_{t} 时间沿y方向内流入与流出的水量之差为：
-\frac{∂}{∂y}\left(V_{y}（H-Z）\right)|_{η}\Delta_{x}\Delta_{y}\Delta_{t}\\
令 ε 为垂向补给强度，即单位时间单位面积上的垂向补给量（补给时为正，排泄时为负），
则 \Delta_{t}时间内垂向补给均衡区的水量为：
ε\Delta_{x}\Delta_{y}\Delta_{t}\\
于是得到了 \Delta_{t}时间内均衡区的净流入水量：
\left(-\frac{∂}{∂x}\left(V_{x}（H-Z）\right)|_{ξ}+-\frac{∂}{∂y}\left(V_{y}（H-Z）\right)|_{η}+ε\right)\Delta_{x}\Delta_{y}\Delta_{t}\\
这会引起均衡区内储存量的增加，最终反映在潜水位H的变化上。
设 H(x,y,t) 为渗流区点 （x，y） 处的 t 时刻的水头值，因此从 t 时刻到 t+\Delta{t} 时刻水头变化值为：
H(x,y,t+\Delta{t})-H(x,y,\Delta{t})=\frac{∂H}{∂t}|_{t}\Delta{t}\\
当水头改变 \frac{∂H}{∂t}\Delta{t} 时，均衡区内所需储存（或释放——当 \frac{∂H}{∂t}<0 时）的水量为：
μ_{d}\frac{∂H}{∂t}\Delta{x}\Delta{y}\Delta{t}\\
其中 μ_{d} 为潜水含水层的给水度。这里忽略了一般情况下比重力储存（或释放）的水量小得多的弹性储存（或释放）的水量 μ_{\sigma}\frac{∂H}{∂t}\Delta{x}\Delta{y}\Delta{t} 。于是，由水均衡原理得：
\left(-\frac{∂}{∂x}\left(V_{x}（H-Z）\right)|_{ξ}+-\frac{∂}{∂y}\left(V_{y}（H-Z）\right)|_{η}+ε\right)\Delta_{x}\Delta_{y}\Delta_{t}=\frac{∂H}{∂t}|_{t}\Delta{x}\Delta{y}\Delta{t}\\
两边同时除以 \Delta{x}\Delta{y}\Delta{t} ，并令 \Delta{x}\rightarrow0 、 \Delta{y}\rightarrow0 、 \Delta{t}\rightarrow0 ，得：
-\frac{∂}{∂x}\left(V_{x}（H-Z）\right)-\frac{∂}{∂y}\left(V_{y}（H-Z）\right)+ε=μ_{d}\frac{∂H}{∂t}\tag{1}
此式即为潜水二维不稳定流动的连续性方程。对于各向异性含水层，若 x、y 坐标与主渗透系数方向一致，且裘布衣假定成立，渗流遵守达西定律时，有：
V_{x}=-K_{xx}\frac{∂H}{∂x}，V_{y}=-K_{yy}\frac{∂H}{∂y}\tag{2}
将（2）代入（1）式得：
\frac{∂}{∂x}\left(K_{xx}（H-Z）\frac{∂H}{∂x}\right)+\frac{∂}{∂y}\left(K_{yy}（H-Z）\frac{∂H}{∂y}\right)+ε=μ_{d}\frac{∂H}{∂t}\\\tag{3}
其中 K_{xx}、K_{yy} 分别表示各向异性介质的主渗透系数。这就是布西涅斯克方程（1904），即二维潜水不稳定流动方程。
二、承压二维不稳定流动微分方程
设有一承压含水层，其隔水顶板底面和隔水底板顶面倾角不大，因此可作为二维流动问题考虑。在含水层中划出一个以 dx、dy 为底边边长，含水层厚度M作为柱体高度的含水层柱体。仿照二维潜水不稳定流动方程建立的方法，得到 dt 时间段内净流入含水层柱体的水量为：
\left(\frac{∂}{∂x}\left(K_{xx}M\frac{∂H}{∂x}\right)+\frac{∂}{∂y}\left(K_{yy}M\frac{∂H}{∂y}\right)+ε\right)dxdydt\\
其中M为含水层厚度，K_{xx}、K_{yy} 分别表示各向异性介质的主渗透系数， ε 为垂向补给强度（如越流）。
根据水均衡原理，在 dt 时间段内，含水层柱体净流入的水量应该等于dt 时间段内含水层柱体内储存水量的增量，即：
\left(\frac{∂}{∂x}\left(K_{xx}M\frac{∂H}{∂x}\right)+\frac{∂}{∂y}\left(K_{yy}M\frac{∂H}{∂y}\right)+ε\right)dxdydt=μ_{s}\frac{∂H}{∂t}dxdydt\\
两边同时除以 dxdydt ，得：
\frac{∂}{∂x}\left(K_{xx}M\frac{∂H}{∂x}\right)+\frac{∂}{∂y}\left(K_{yy}M\frac{∂H}{∂y}\right)+ε=μ_{s}\frac{∂H}{∂t}\tag{4}
其中 μ_{s} 表示单位水平面积含水层柱体水头高度变化一个单位（下降或上升）时所释放（或储存）的水量。
(4)式即为承压水二维稳定流动微分方程。它适用于非均质、各向异性、不等厚的承压含水层。若承压含水层是均质、各向同性、等厚的，这时 K_{xx}=K_{yy}=K ,于是（4）式可写为：
T\left(\frac{∂^2H}{∂x^2}+\frac{∂^2H}{∂y^2}\right)+ε=μ_{s}\frac{∂H}{∂t}\\
其中 T=KM 为导水系数。
三、地下水稳定流动方程
前面两段分别讨论了潜水和承压水非稳定流动的微分方程。当水头不随时间变化，即 \frac{∂H}{∂t}=0 时，地下水为稳定流动。此时水头函数H只是空间坐标 （x，y） 的函数，而与时间无关。于是（3）（4）式变成：
\frac{∂}{∂x}\left(K_{xx}（H-Z）\frac{∂H}{∂x}\right)+\frac{∂}{∂y}\left(K_{yy}（H-Z）\frac{∂H}{∂y}\right)+ε=0\tag{5}
\frac{∂}{∂x}\left(K_{xx}M\frac{∂H}{∂x}\right)+\frac{∂}{∂y}\left(K_{yy}M\frac{∂H}{∂y}\right)+ε=0\tag{6}
方程（5）（6）分别为潜水含水层和承压含水层地下水稳定流动的微分方程。