西北工业大学矩阵论课件PPT第三章例题矩阵分析

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1、例 2.03.01.0 4.05.05.0 2.01.02.0A 解 ，19.01 A所 以 A是 收 敛 矩 阵 。 (或 )1943.089.0F A(可 求 得 ，5.21 mA ，5.15.03 mA )4.1A是 否 为 收 敛 矩 阵 ？ 为 什 么 ？因 为矩 阵 第 三 章 矩 阵 分 析 1 矩 阵 序 列 的 极 限 解 )63)(65(361531)det( 26131 3461 AI得 A的 特 征 值 为 ，651 212 从 而 ，165)( A 故 A是 收 敛 矩 阵 。 由例 是 否 为 收 敛 矩 阵 ？ 为 什 么 ？矩 阵 6131 3461A 例 0

2、12 816k kkk 解 ， 12 81A 取 幂 级 数 。06k kk xk判 断 矩 阵 幂 级 数的 敛 散 性 。法 1. 令因 为 2 矩 阵 级 数 kkk aa 1lim kkk kk66 1lim 1 61161lim kkk 所 以 收 敛 半 径 为 。61 r 可 求 得 A的 特 征 值 为3,5 21 即 ，65)( A 故 矩 阵 幂 级 数 绝 对 收 敛 。 ，0k kkx 。 12 8161A可 求 得 ，1r A的 特 征 值 为 21,65 21 于 是 ，165)( A 故 矩 阵 幂 级 数 绝 对 收 敛 。 法 2. 取 幂 级 数 则 例 2

3、.03.01.0 4.05.05.0 2.01.02.0A判 断 0k kA解 ，19.01 A 所 以 0k kA 收 敛 ，10 )( AIAk k 18.03.01.0 4.05.05.0 2.01.08.0 352520 426244 141428141已 知 的 敛 散 性 。 若 收 敛 ， 求 其 和 。因 为 且 例 ， 6131 3461A 则 0k kA 收 敛 的 原 因 是，165)( A 且 其 和 为 31034 316310已 知 可 求 得 A的 特 征 值 为，651 212 分 析从 而 。 31034 31631010 )( AIAk k165)( A ，

4、 。 例 ， 01 10A 试 求 。， tt AAAA cossinee解 11 1)det( 2 AI所 以 ，OIA 2 即 。IA 2 从 而已 知因 为 3 矩 阵 函 数 ，AA 3 ，IA 4 ，AA 5 ，IA 6，AA 7 ，IA 8可 知 ，IA kk )1(2 AA kk )1(12 ),2,1( k故 6!615!514!413!312!21!11e AAAAAAIA IAIAIAIAI !81!71!61!51!41!31!21!11 AI )1()1( !71!51!31!81!61!41!21 AI )1(sin)1(cos 1cos1sin 1sin1cos 4

5、4!4133!3122!21!11e ttttt AAAAIA AI )()1( !5!3!6!4!2 53642 ttttt tAI )(sin)(cos tt tt tt cossin sincos 9!917!715!513!31sin AAAAAA AAAA !71!51!31 )1()1( !31!21!1121!31!21!1121 A 2ee 1 A 1shA 01sh 1sh0 66!6144!4122!21cos tttt AAAIA )1( 4!412!21 ttI 2ee tt I tchI tt ch0 0ch 例 nnCA 满 足 ，AA 2 试 求 ， AAA si

6、nee t。tAcos 解 AA k ，),3,2( k 所 以 6!615!514!413!312!21!11e AAAAAAIA )( !31!21!11 AI 1)1( !31!21!11 AI AI )1(e设由 于 44!4133!3122!21!11e ttttt AAAAIA AI )( !3!2!1 32 ttt AI )1(e t 9!917!715!513!31sin AAAAAA AAAA !71!51!31 1sinA 66!6144!4122!21cos tttt AAAIA )( 4!412!21 ttAI AI )1(cos t例 ，)4,0,2,1diag( 求

7、 ， tt sinee。cos解 )e,1,ediag(e,e 42 )e,1,e,diag(ee 42 tttt )4sin,0,2sin,diag(sinsin tttt )4cos,1,2cos,1diag(coscos 已 知 例 ， 211 121 112A 试 求 。， tt AAA sinee解 )3)(2)(1()det( AIA的 特 征 值 为 3,2,1 321 对 应 的 特 征 向 量 分 别 为，T1 )1,0,1(p ，T2 )1,1,1(p T3 )0,1,1(p故 相 似 变 换 阵 011 110 111P已 知可 求 得 使 得 3211APP从 而 Ae

8、 132 eee PP 222 32232 32232 eeeee eeeee eeeeeeetAe 132 eee PP ttt ttttt ttttt ttttttt 222 32232 32232 eeeee eeeee eeeeeeetAsin 13sin2sinsin PP ttt ttttt ttttt ttttttt 2sin2sinsin2sinsin 3sin2sin2sin3sin2sin 3sin2sin2sinsin3sin2sinsin 例 ， 2000 1200 0120 0012A 试 求 。， AAAA cossinee tt解 Ae ， 222 22122 2

9、6122122 eee eee eeee tAe ttt tttt tttttt ttt 222 2222 262222 eee eee eeee 232已 知 tAsin tttt tttt ttttt ttt 2sin 2cos2sin 2sin2cos2sin 2cos2sin2cos2sin 262 232 Acos 2cos 2sin2cos 2cos2sin2cos 2sin2cos2sin2cos 216121例 ， 111201010A求 。， ttt AAAA cossinee 已 知 解 Ae tAe， 111221 eeee11111 ttttt ttt eeee111

10、222tAsin ttttttt sincossin2sin00 00 tAcos tttttt cossincos2cos10101 22 例 ， 411 011 013A 求 。， AA sine t 解 ， 10 001 011 21P 使 400 020 0121 JAPP故 1ee PP JA tt 1011 010e00 0e0 0ee 21214222 tttt tP已 知可 求 得 1)(sinsin PJPA 4sin4sin2sin4sin2sin 02cos2sin2cos 02cos2cos2sin 21212121 ttttt ttt ttt tt tt 442122

11、1421221 222 22 eeeee 0eee 0eee 14sin00 02sin0 02cos2sin PP 例 ， 411 301 621A 求 。， AA sine t 解 ， 010 011 121P 使 11111 JAPP故 1ee PP JA tt 1eeee PP tttt t已 知可 求 得 相 似 变 换 阵 ttt ttt ttt ttt ttt ttt e)31(ee e3e)1(e e6e2e)21( 1)(sinsin PJPA 1cos31sin1cos1cos 1cos31cos1sin1cos 1cos61cos21cos21sin 11sin1cos1

12、sin1sin PP 例 ， 311 111 002A 试 计 算 。， AAAA cossinee tt解 3)2()det( AIA的 特 征 值 为 2321 (三 重 )2210)( bbbr 列 方 程 组 ：Ae求 221 210 2)2( 4)2( 42)2( br bbr bbbr 222eee 解 得 2212 21 20 eeebbb已 知法 1.设 1) 故 2210e AAIA bbb 2102121 211021 210 8344 44 0042 bbbbbbb bbbbbb bbb 222 222 e2ee e0e 00e2) 求 tAe ttttbr tbbr b

13、bbr 222 221 2210 e2)2( e4)2( e42)2( 解 得 t tt ttttb ttb ttb 22212 2221 22220 e e2e e2e2e 故 2210e AAIA bbbt 2102121 211021 210 8344 44 0042 bbbbbbb bbbbbb bbb tttt ttttt ttt ttt 2222 22222 eeee eeee 00e3) 求 tAsin ttbr ttbbr tbbbr 2sin2)2( 2cos4)2( 2sin42)2( 2221 210解 得 ttb ttttb tttttb 2sin 2sin22cos

14、2sin22cos22sin 2212 21 20故 2210sin AAIA bbbt 2102121 211021 210 8344 44 0042 bbbbbbb bbbbbb bbb ttttttt ttttttt t 2cos2sin2cos2cos 2cos2cos2sin2cos 002sin 4) 求 Acos 2cos2)2( 2sin4)2( 2cos42)2( 221 210 br bbr bbbr解 得 2cos 2cos22sin 2cos2sin2 21210bbb故 2210cos AAIA bbb 2102121 211021 210 8344 44 0042

15、bbbbbbb bbbbbb bbb 2cos2sin2sin2sin 2sin2cos2sin2sin 002cos法 2. 2)2()( Am 是 A的 最 小 多 项 式 。 设 10)( bbr 对 应 特 征 值 2有 2个 线 性 无 关 的 特 征 向 量 ，于 是由 110)2( 2)2( br bbr Ae(求 tAe tAsin )cos A解 得 ttt 22ee tt t2cos2sin 2sin2cos22ee 2sin2cosee 2sin22cos2cos22sine)21(e 221 220 tttb ttttb t t故 )(Af (或 )( tf A AI

16、10 bb 1011 1101 10 3002 bbbb bbbb bb 例 ， 130 020 412A 试 计 算 tAe 和 。Asin解 )1()2()det( 2 AIA的 特 征 值 为 1,2 321 设 2210)( bbbr 则 由 210 21 210)1( 4)2( 42)2( bbbr bbr bbbr t ttteee 22 tAe(求 )sin A已 知解 得 ttt ttt ttt tb tb tb 222 221 220 eee e3e4e4 e2e3e4 2cos2sin1sin 2cos32sin41sin4 2cos22sin31sin4 1sin2cos

17、2sin 于 是 )(Af (或 )( tf A 2210 AAI bbb 21021 210 2121210 )3(30 0420 )3(41642 bbbbb bbb bbbbbbb故 ttt t ttttttt t ee3e30 0e0 e4e4e13e12e12ee 22 2222A 1sin2sin31sin30 02sin0 2sin41sin42cos132sin121sin122sinsin A 例 已 知 4阶 方 阵 A的 特 征 值 为 ， 00 试 计 算 Asin 和 。Acos解 2242 )()det( AI由 H-C定 理 得 ，OAA 224 从 而，224

18、AA ，325 AA ，246 AA ，347 AA 即 ，2222 AA kk 32212 AA kk ),3,2( k法 1故 9!917!715!513!31sin AAAAAA 3!93!73!53!31 642 AAAAA )( !9!7!5!313 642 AA 8!816!614!412!21cos AAAAIA )( !6!4!212 42 AI 2 1cos2 AI )( !6!4!212 6422 AI 222 AI 法 2 4阶 方 阵 A的 特 征 值 为 。， 00 设 332210)( bbbbr )( !9!7!5!313 97533 AA 3sin3 AA 31

19、2 AA 解 得 213210 010bbbb 0013 2210 2bbbb 故 ，312sin AAA 222cos AIA 则 由 10 332210 332210)0( )0( )( )( br br bbbbr bbbbr 10cos 00sin 0)sin( 0sin 00sin 10cos 1)cos( 1cos Asin(求 )cos A 例 ， 411 301 621A 求 A和 。Aln 解 ， 010 011 121P使 11111 JAPP 且 311 100 1101P取 ， )(f ， ln)( g 则， 21)( f ， 1)( g已 知可 求 得 相 似 变 换

20、 阵 故 1)1(00 )1()1(0 00)1()( PPAA fffff 311 100 110100 10 001010 011 121 21 252121 232121 310 1)1(00 )1()1(0 00)1()(ln PPAA ggggg 311 100 110000 100 000010 011 121 311 311 622 例 ， 21212A 求 。)(Af解 ， 21212TA )2( )2()2( )2()2()2()( 21T fff ffff A故 )(Af TT)( Af )2()2()2( )2()2( )2(21 fff fff已 知 例 ， 11101

21、0A 求 。， AA cose t解 ， tttt tt eee11eA 1cos1sin1cos101cos A已 知 例 ， ttttt 2e20 e1)(A 求 )(1 tA 的 存 在 区 间 ，。)(1dd tt A解 ，ttt 2e2)(det A 仅 当 0t 时 ， )(tA 奇 异 ， 设并 求 因 为 4 矩 阵 微 积 分 )(1 tA 的 存 在 区 间 为 。),0(),0,( 法 1. )(1 tA 10 ee2e2 1 22 ttt ttt tt t221 21e0 e1故 由 于 所 以 )(1dd tt A tt t t 22 2121 e0 e0 2法 2.

22、 tt ttttt t tt 221 212221 21 e0 e1e)21(20 e)1(0e0 e1 tt t t 22 2121 e0 e0 2 (由 定 义 )(1dd tt A )()()( 1dd1 ttt t AAA 例 设 A是 可 逆 矩 阵 ， 。10 de ttA )(e1 IA A分 析 10 de ttA 101 de ttAAA 101 )(e tAA )(e1 IA A 则 10 dd1 de ttt AA 例 ，axxax TT)( f 其 中是 已 知 向 量 ， T1 ),( nxx x 是 向 量 变 量 ， 。xdd f解 nnxaxa 11因 为 ii

23、 axf ),2,1( ni 所 以 T1 ),(dd nxfxff x a T1 ),( naa 已 知 T1 ),( naa a 求axxax TT)( f例 nnija )(A 已 知 ， T1 ),( nxx x 是 向 量 变 量 ，Axxx T)( f 求 。xdd f设 解 Axxx T)( f ns nt tsst xxa1 1 nt ttnt tt xaxxax 1 221 11 nt tntnnt titi xaxxax 11 因 为 ixf )( 11,111 nt titiiiiiii xaxaxaxa nniiii xaxa 1,1 nt titns ssi xaxa

24、 11 所 以 xdd f nxfxf1 ns nt tntssnns nt ttss xaxa xaxa1 11 1 11 AxxA T xAA )( T 特 例 ， AA T 时 ， 即 A对 称 时 ， 。Axx 2dd f当 例 mnijx )(X 为 矩 阵 变 量 ，)tr()( AXX f 求 。Xdd f解 )tr()( AXX f ms nt tsstxa1 1 itjsms nt tsstijji xaxa 或1 1因 为 ，jiij axf 所 以Xdd f mnijxf )( TA设 nmija )(A 已 知 ， mnjia )( 例 nnijx )(X 是 矩 阵

25、变 量 ， ，XX det)( f试 求 。Xdd f解 ijX 是 Xdet 中 元 素 ijx 的 代 数 余 子 式 ， ininijijii XxXxXx 11因 为 ，ijij Xxf 所 以Xdd f nnijxf )( T*)(X当 X 可 逆 时 ，Xdd f T1)(det XX T)(det XX设 设 则XX det)( f nnijX )( 例 ， 654 321 ttt tttX ，435261)( ttttttf X则 。Xdd f分 析例 ，nnijx )(X ，XX tr)( f 则 nI已 知 123 456 ttt ttt 654 321dd tftftf

26、tftftffX 123 456 ttt ttt已 知 。Xdd f分 析 XX tr)( f nnxxx 2211于 是 ， ji jixfij ,0,1 故 。nnnijxff IX dd 例 ，nmRA ，mRb 对 于 矛 盾 方 程 组，bAx 使 得 22)( bAxx f 为 最 小 的 向 量 )0(x称 为 最 小 二 乘 解 ，已 知 试 导 出 最 小 二 乘 解 所 满 足 的方 程 组 。解 )0(x 使 )(xf 达 到 极 小 ， 0 )0(dd xxxf因 为 从 而 应 有 22)( bAxx f )()( T bAxbAx bbAxbbAxAxAx TTTT

27、TT 由 前 几 例 得 bAAxAx TT 22dd f于 是 )0(dd xxx f bAAxA T)0(T 22 0即 bAAxA T)0(T 称 bAAxA TT 为 法 方 程 组 ， 它 是 最 小 二 乘 解所 满 足 的 方 程 组 。 例 ，nmija )(A ，T1 ),( mxx x 且，AxxF T)( 求 。xFdd解 AxxF T)( ),( 11 21 1 mk knkmk kkmk kk axaxax 因 为 ),( 21 iniii aaax F所 以 xFdd mxxFF1 A mnmm naaa aaa 21 11211已 知 例 3)0(,1)0(,2)

28、0( 32 442 321 323dd 22dd 3211dd xxx xxx xx txxxxttt用 矩 阵 函 数 方 法 求 解 微 分 方 程 组解 0)0( )()(d )(d xx fAxx tttt写 成 矩 阵 形 式 5 矩 阵 分 析 的 应 用 其 中 ， 130 020 412A ， 004)( ttf 3120 x 可 求 得 )1()2()det( 2 AIA的 特 征 值 为 1,2 321 设 2210)( bbbr 由 tt tbbbr tbbr bbbr e)1( e4)2( e42)2( 210 221 2210 解 得 ttt ttt ttttb tb

29、 tb eee e4e4e3 e4e3e2 222 221 220所 以 2210e AAIA bbbt ttt t tttttt t ee3e30 0e0 e4e4e13e12e12e 22 2222依 次 计 算 ， tt ttt t22 220 e3e e13e2e xA t0 d)(e fA t0 2 d00e4 00 1ee2 22 ttt tt 0 d)(ee fAA 00 12e2 tt故 00 12ee3e e13e2)( 222 22 ttt ttt ttx tt tt tt 22 22 e3e 12e13e3 例 ， 121 101 121A ， ttt 22e0e)(b

30、210)0(x1) 求 ；tAe2) 用 矩 阵 函 数 方 法 求 微 分 方 程 )()(d )(d tttt bAxx 满 足 初 始 条 件 )0(x 的 解 。已 知 解 )2()2()det( 2 AI法 1. ， 110 101 112P 使 2221APP所 以 1222 eeee PPA tttt tttttt tttttt tttttt 222222 222222 222222 ee3e2e2ee eee2e2ee eee2e2ee3411)可 求 得 法 2. 。)2)(2( Am 设 10)( bbr 由 t tbbr bbr 210 210 e2)2( e2)2( 解

31、 得 )e(e )e(e 22411 22210 tt ttbb于 是 AIA 10e bbt 1011 101 1110 22 bbbb bbb bbbb可 求 得法 3. 。2210)( bbbr 由 tt tbbbr tbbr bbbr 2210 221 2210 e42)2( e4)2( e42)2( 解 得 )e(ee )e(e eee 221612412 22411 24324120 ttt tt ttttbb tb设 故 2210e AAIA bbbt 21011 1201 11210 42 424 bbbbb bbbb bbbbb2) ， 101)(e bA ， ttt 0d)(e0 bA tttt 0 d)(ee)0(e)( bxx AAA tttt tt 2222 e0ee2e0 ttt 2 1e 2 计 算