定义

泰勒(Tayloy)公式是微积分中的一个重要公式，也是进行数学理论研究与计算的重要的工具，但大多数的高等数学教材中，对泰勒公式应用的介绍都较少，导致学生难以掌握泰勒公式及其应用技巧。

因为低次多项式不能很精确的表达函数，和作近似计算，所以遇到一些要求精确度高而且需要估算误差的情况时，就必须使用高次多项式来近似表达函数，同时给出相应的误差公式。泰勒公式是数学分析里面一个重要的部分方程，因此在数学里面有很高的地位。

教学方法

泰勒公式作为高等数学微分学的教学重点和难点，其教学方法一直吸引着广大数学教学工作者进行研究。而泰勒中值定理及泰勒公式的抽象深奥，确会让大多数学生不知所云、莫名其妙，虽经充分预习、认真听课，仍会感觉一头雾水、疑问重重。难、不懂、不理解是学生学完泰勒公式的主要感觉，而作为传道授业解惑的老师，总希望能改变这一现象，希望泰勒公式给学生留下最深刻的印象是好、有用、会用。因此，这节课的讲授需要老师投入更多的精力去设计其教学方法和教学思路。

例：设函数f（x）在x=x0处存在二阶导数，试证：

等式右端是一个二次多项式加一个高阶无穷小项。我们回顾一下它的证明。通过上节课的知识，我们只需要用一次洛必达法则和导数的定义就证明了这个结论。但是，我们并不是第一次用多项式来表示一般的函数了，在第二章学习微分的时候，我们知道，如果函数f（x）在x=x0处可微，则f（x）=f（x0）+f忆（x0）（x-x0）+o（x-x0）。

这说明如果函数f（x）在x0处有一阶导数，则f（x）等于一个一次的多项式加x-x0的高阶无穷小；如果函数f（x）在x0处有二阶导数，则f（x）等于一个二次的多项式加（x-x0）2的高阶无穷小；如果函数f（x）在x0处有三阶导数呢，大家猜想，我们会得到什么结论？到了这里，学生会自然而然地想到：如果函数f（x）在x0处有三阶导数，那么f（x）就等于一个三次的多项式加（x-x0）3的高阶无穷小。这个结论叙述出来就是：如果函数f（x）在x=x0处存在三阶导数，则

只是这个三次的多项式三次项的系数分母是3！，除此之外，上式都在意料之中。而我们立马对猜想得到的结论做一个严格证明。

证明：为了方便起见，我们把等式右端三次的多项式记为p3（x），即

对于结论的正确性我们只需要验证

而通过简单的计算可知，

所以，用两次洛必达法则，我们得到

到了这里就不能再用洛必达法则求极限了，因为，我们只知道函数f（x）在x=x0处存在三阶导数，即函数f（x）在x0的邻域内二阶导函数连续，在xo的邻域内是否存在三阶导数不知道，所以不再满足洛必达法则的条件，但是对于上式极限，我们只需要对二阶导函数应用导数的定义就能得到：

这就证明了我们猜想的结论正确。

现在，我们再总结一下得到的结论：如果函数f（x）在x0处有一阶导数，则f（x）等于一个一次的多项式加x-x0的高阶无穷小；如果函数f（x）在x0处有二阶导数，则f（x）等于一个二次的多项式加（x-x0）2的高阶无穷小；如果函数f（x）在x0处有三阶导数，则f（x）就等于一个三次的多项式加（x-x0）3的高阶无穷小。好，按照这种规律，一般情况下，如果函数f（x）在x0处有n阶导数呢？学生一定会毫不犹豫地齐声回答：那么f（x）就等于一个n次的多项式加（x-x0）n的高阶无穷小。这就是泰勒中值定理的第一个定理：

泰勒中值定理1：如果函数f（x）在x=x0处存在n阶导数，则

是非常小的一项，所以，我们可以用n次多项式近似表示f（x），但是这种近似表示的误差只是（x-x0）n的高阶无穷小，具体小到多少，我们不能量化，也就是说佩亚诺型余项只是一个定性的表示，不能量化，那我们能不能得到一个定量的误差项呢？只要对函数f（x）的要求加强一点点，就得到了一个可以量化的误差项，这就是泰勒中值定理的第二个定理：泰勒中值定理2：如果函数f（x）在x0的邻域内存在n+1阶导数，则

这样我们就引入了泰勒公式，这是非常重要的一步，然后就可以按照平常教材的安排，进一步介绍麦克劳林公式、常见函数的麦克劳林公式、泰勒公式的应用、举例等等。^[1]

总之，泰勒公式的教学目标是要求学生理解泰勒公式并了解其应用，然而，对于刚步入大学的学生而言，许多大学生并没有转变好角色，适应大学的思维方式，他们对抽象深奥的泰勒公式及泰勒中值定理的学习变现出畏难情绪。学生在学完之后，并不能理解其意义所在，往往不知所云。用这种方式引入泰勒公式，学生对泰勒公式的理解及记忆非常清楚，再没有难的感觉。在实际教学过程中，已经用这种方式介绍了泰勒公式，反应非常好。希望这种教学方法能够推广，以增强学生的学习兴趣，提高教学效果。^[2][3]

多元函数张量表示

勒公式在多元微分学中占据着十分重要的地位，在多元函数逼近、计算机图形学以及工程近似计算等分支中有成功的应用.在高等数学教材中，多元函数泰勒展开式中的高阶项通常是借助于多项展开式进行表达，这种抽象的表达形式导致本知识点艰涩难懂.为了克服此授课难点，基于张量与张量积运算为泰勒公式引人一种直观且简洁的新表达形式.该新形式有利于学生对泰勒公式的理解与记忆，从而激发起他们运用数学工具解决实际问题的兴趣。^[4]

具体形式如下：

从上述例子可看出，一阶导数中每个元素针对X,Y,Z，二个方向分别求偏导，通过这种扩展就得到二阶导数矩阵，二阶导数中每个元素针对X,Y,Z，三个方向分别求偏导，通过这种扩展就得到量更高阶导数可以依次类推得到。

基于上述函数导数的张量表示，给出三元函数泰勒展开式的一种新表达形式.回顾高等数学教材里的泰勒展开式：

基于导数的张量表示以及张量积运算，不难验证：

将上述等式代入教材里提到的泰勒公式，我们得到多元函数泰勒展开式的一种新表达如下：

从上述新表达可看出：

(1)诸项的导数可通过几何拓展的方法得到，导数越高，通过几何拓展得到的张量阶数也越高种新导数表达具有直观的几何意义；

(2)右端展开式中的每项都由导数与坐标差分行向量的张量积组成，张量某模态与行向量的张积就是张量切面与该行向量的线性组合之和，这种表示具有明确的几何含义；

(3)右端展开式可认为是一元泰勒公式的直接推广，因此新表达具有形式上的统一性.

综上所述，多元函数泰勒公式的新表达具有直观的几何含义和形式上的统一性，这些优点有利于学生们的理解和掌握，从而提高学生学习和应用泰勒公式的兴趣。^[5][6][7]

应用

泰勒公式源于微积分学，在其有广泛的应用，例如求极限,判断级数的敛散性，计算函数的极值等等。

一、利用泰勒公式求极限

例1：求极限^[8]

分析：这是一道分式形式的求极限题目，若我们用罗比达法则求解将会非常麻烦，此时我们可用泰勒公式展开了，就可以将计算进行简化。^[9]

代入原式得：

二、利用泰勒公式解决近似计算问题

使用泰勒公式能够获得抑制函数的近似计算式和一些无理数的近似值

例2：估算ln1.2的近似值，误差是不超过10一4。

解：写出带有拉格朗日余项的麦克劳林展开式：

则取n=5即可，可得In1-2 0.2—0.02+0．00267—0.00040+0.00006=0.1832其误差项lRsl 0.0001。泰勒公式在求近似值时非常方便，这也是泰勒公式最重要，最广泛的应用。

三、泰勒公式在证明等式和不等式中的应用

当我们得到的不等式是由若干个多项式和一些简单的初等函数组成的时候，我们可以做一个辅助函数，并利用泰勒公式进行分析验证．这样会使证明更加的简单。

可见当x>o时，函数．f(x)大于等于o，所以不等式成立。在数学领域中泰勒公式的重要性不言而喻，通过对它的学习，可以提高我们的数学解题能力，我们称之为数学思维。这种数学思维可以在以后的其他课程中发挥重要作用。泰勒公式在解决很多数学问题上都起到了重要的作用，我们仅仅介绍了他的几个简单应用，实际上泰勒公式的应用远非如此，他在小波分析，通信领域都有着广泛的应用，我们将在以后的日子中慢慢体会泰勒公式的强大作用。^[10]

四、求解偏微分方程

例４设u(x,y)对x 和y 的高阶偏导数存在，求解变系

五、求行列式的值

首先根据行列式的特点构造对应的行列式函数,然后将这个行列式按泰勒公式在具体的点展开,通过求出行列式函数的各阶导数值代入公式即可：

Dn(a),将行列式函数Dn(x)按泰勒公式在x ＝c 展开得

接下来求出Dn (x)在的x＝c各阶导数:

最后令行列式函数中的x＝a就能求出行列式Dn 的值。^[11][12]

六、求微分方程的解

例6求微分方程(１－x)y′＝x２－y的解

七、在农田排水沟（管）间距的计算中的应用

(一） 研究背景及潜水蒸发计算公式

根据水量平衡原理，建立考虑蒸发影响的地下水位下降的表达式，通过对设定的潜水下降速度函数V，采用泰勒公式展开，可以取展开式的前几项作为计算公式。

(二）蒸发影响下的农田排水沟（管）计算方法根据水量平衡恒原理，任意时段dt内地下水位下降狀满足微分方程为：

式中，L:排水沟管间距，m ;g d :单位面积的排水强度，m /d E :地下水埋深为H 时的蒸发强度，m/d心含水层的给水度地下水面线形状系数。通常取：明沟为0.7〜0.8,暗管为0.8〜1.0。

gd 可以表示为：

式中，K :含水层的平均渗透系数，m / d: 渗流阻抗系数。整理得到地下水下降速度表达式为：

通过分析得知，地下水位下降速度和作用水头两者满足指数变化关系，即可以设为：

为提高计算结果的精确性，取展开式的前3 项，代入式(4)得到:

对上式（6)进行变量分离，两边分别取其定积分，t:o t，h:h i h2，即得到：

应用式（5)求出当h= 0.95 h ，h2=0.73h ，h3=0.05 h(h 为临界深度)Vi（i= 1 ，2 , 3 )，由式（6)得到参数A 、B 、C 满足：

为了在计算时更准确，取泰勒展开式前4 项，即得到：

对于式中的Ai、Bi 、Ci 、Di 采用同前面展开3 项方法可以取值：h=0.95h、h 2=0.73h 、h3= 0.36h 、h4=0.05h 。由式（9)得到参数满足:

(三）数值实验

对特定案例代入得出具体的计算结果，而在文献中有实际数值，通过相互比较验证公式的精确性。案例为：某排水地段，采用埋深hq=2.5m，直径=0.1m的暗管排水，其设备处在轻壤土区域，有关参数为=0.01m/d土壤渗透系数是=1.0m /cl,给水度 § =0.05, 土壤参数a=1.4 , 6=10.6。计算得出两排水区暗管之间的间距，分别如下表2 和表3所示。

得到的结果为L=107.6 m ，而文献中数据为 L=108.16 m ，即在对指数型变化关系用泰勒展开作近似时，如果取展开式的前三项在实际应用中只存在0.6% 的误差。

由表得知，取展开式的前四项的计算的结果为L=108.19m，而文献中的数据为L=108.16m，误差为0.03%。另外考虑取展开式的前三项形式更简单，误差也仅仅为0.6%，因此在进行排水规划阶段计算排水沟（管）时尚能满足要求。^[13][14]