如何解释洛必达法则？

17世纪的贵族子弟洛必达曾经说过：人这辈子一共会死三次。

• 第一次是你的心脏停止跳动：那么从生物的角度来说，你死了。
• 第二次是在葬礼上：认识你的人都来祭奠，那么你在社会上的地位就死了。
• 第三次是在最后一个记得你的人死后：那你就真的死了。

为了知行合一，洛必达从数学家伯努利手中重金买下了一个知识产权，伯努利收获了金钱，也付出了后悔。

这次交易的内容就是我们今天要讲的，以洛必达的名字命名的洛必达法则。

1 洛必达法则

洛必达法则（l'Hôpital's rule）是利用导数来计算具有不定型的极限的方法。这法则是由瑞士数学家约翰·伯努利（Johann Bernoulli）所发现的，因此也被叫作伯努利法则（Bernoulli's rule）。维基百科

不严格的说，洛必达法则就是在 0/0 型和 \infty /\infty 型时，有 {\displaystyle \lim _{x\to a}{\frac{f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to a}{\frac{f'(x)}{g'(x)}}} 。

可见，洛必达法则最犀利的是大大简化了极限运算。这种化繁为简的技术手段从来都是深受喜爱的。

这篇文章我们主要回答一下两个问题：

• 为什么洛必达法则对于 0/0 型和 \infty /\infty 型生效？
• 洛必达法则对于别的类型是否生效？

1.1 构造关键函数

我们令 u(x)=(g(x),f(x)) ，为了阅读顺畅，这个函数我要多解释下。

对于一般我们接触的函数，比如 f(x)=2x, x\in R ，根据函数定义，这是一个 R\to R 的映射：

而 u(x)=(g(x),f(x)) 是一个 R\to R^2 的映射：

u(x)=(g(x),f(x)) 可以如下表示：

做出 A 点的割线：

割线的极限即是切线，大家可以感受一下：

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所以可以得出切线的斜率即导数为：

通过坐标轴的原点 O(0,0) 连接 B 点，马同学把这个连线称为原点线：

通过构造关键函数 u(x) 我们得到两个的结论：

u'(x)=\frac{f'(x)}{g'(x)}

• 原点线斜率为 \frac{f(x)}{g(x)}

根据洛必达法则： {\displaystyle \lim _{x\to a}{\frac{f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to a}{\frac{f'(x)}{g'(x)}}} 。可见，构造关键函数之后，我们已经有了\frac{f'(x)}{g'(x)} 和 \frac{f(x)}{g(x)} ，剩下的就是看这两者什么时候极限相等了？

1.2 0/0 型

我们让 u(x) 曲线可以经过 O(0,0) 点：

分别做出割线和原点线：

容易观察到， A 点越靠近原点，割线和原点线越接近：

可以动手试试：

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A 点和 O 点重合时，割线就是原点线：

A 点和 O 点重合时，割线斜率就是原点线斜率，即 \frac{f(x)}{g(x)} 。 根据割线的极限即切线，有\displaystyle \lim _{x\to a}{\frac{f(x)}{g(x)}}=u'(a) ，根据之前的结论有 u'(x)=\frac{f'(x)}{g'(x)} ，所以 \displaystyle u'(a)=\lim _{x\to a}{\frac{f'(x)}{g'(x)}} ，所以有{\displaystyle \lim _{x\to a}{\frac{f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to a}{\frac{f'(x)}{g'(x)}}} ，即洛必达法则。

需要说明一点：

可见，洛必达法则对 0/0 型可以生效。

1.3 \infty /\infty 型

在欧式几何中，两条线的斜率要相等，只有两种情况，重合或者平行。

这就是 \infty /\infty 型为什么适用于洛必达法则的原因，我们来一起推导一下。

首先 u(x) 要换一下，必须得有 (\infty ,\infty ) 点：

画出割线和原点线:

当 A \to \infty 时，割线和原点线趋向于平行：

顺便说一下，这里比较诡异的地方是，割线和原点线一直交于 A 点，但是当 A \to \infty 时居然两者可以平行。其实我们可以说两条平行线交于无穷远点，至于无穷远点能否到达又是另外的问题了。

你也可以动手试试

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同样说明一下， A \to \infty 意味着是 \infty /\infty 型。

根据 0/0 型的推论的思路，洛必达法则对于 \infty /\infty 型也生效。

1.4 结论

所以洛必达法则生效的原因是：

• 0/0 型：割线和原点线重合
• \infty /\infty 型：割线和原点线平行

2 扩展洛必达法则

这里就是要回答洛必达法则对于别的类型是否生效的问题。

2.1 洛必达法则总是有效的函数

令 g(x)=2x ， f(x)=4x ，可以用两种办法求极限：

• 约分： \displaystyle \lim _{x\to a}{\frac{f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to a}{\frac{4x}{2x}}=2
• 洛必达法则： \displaystyle \lim _{x\to a}{\frac{f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to a}{\frac{f'(x)}{g'(x)}}=\lim _{x\to a}{\frac{4}{2}=2}

根据第二种解法，意味着这两个函数总是适用洛必达法则。

我们构造 u(x)=(g(x),f(x))=(2x,4x) ，画出图像：

2.2 洛必达法则的扩展

所以，只要原点线和割线斜率相等，就可以运用洛必达法则，对洛必达法则的扩展让我们把它称为马同学法则吧：）

不过就实际应用来说，还是 0/0 型和 \infty /\infty 型最实用，但是好歹让马同学发明了一个马同学法则，希望可以像洛必达法则一样名垂千古。

3 最后

我想，洛必达先生真的是因为这场交易不朽了。

更多内容推荐马同学图解数学系列

通俗地讲，求极限的本质是分子与分母“比阶”，比谁的速度快。

就像分子分母在跑道上进行趋于0或者无穷的赛跑，我们旁观者想搞清楚他们

1.谁赢了？（极限是大于一还是小于一？）

2.他们是差不多同时撞线还是领先者领先好几个身位到达终点？（同阶还是高阶？）同时撞线差了多少？（同阶的话极限到底是几？）

但问题在于我们肉眼的判断能力有限，只知道两人的运动情况（函数在某点附近的表达式）。洛必达法则告诉我们，在一定的条件下，我们可以用放慢镜头的办法（分子分母公平降阶）判断出两者谁跑得快，快多少。每求一次导相当于镜头慢了一倍，这样慢下去，两者冲线的情况最终就越来越清晰。

当然这种放慢镜头的办法不是每次都灵的。如果因为技术原因慢镜头在冲线前后不能放（函数不存在一个可导的邻域），或者放了慢镜头后因为什么原因分辨不出来（洛必达完了极限反而不存在）或者他们中间摔倒了根本没有冲线（不是0比0或者无穷比无穷），那么再去放慢镜头也对知道比赛结果无济于事。

如果你读一读《托马斯微积分》这部分

，你就会发现解释的特别棒。我自己给绘了一张图。

大概看了本问题下的几个回答吧。大家似乎比较习惯于用“不严谨”的直觉。当然，我也没觉得这样不好，直觉有助于理解。但如果仅仅依赖这种不严谨的东西，后果就是你心里总会有一些说不清道不明的“阴影”。似乎懂了，反过头来又觉得似乎有问题。更何况，有些东西仅仅凭借直觉往往是不能够的。从洛必达法则来看其实 0/0型比较贴近于直觉吧。

先不多说废话了。让我们来看看如果用比较严格的方式，或者是偏数学分析的方式，怎么来解释洛必达法则的。

当然我们不可能从头开始说。假设大家心目里已经有一个笼统的数学分析的知识框架了，比如极限、连续、导数等等的定义大家清楚了。

我们从哪里开始说呢？ 罗尔定理。

罗尔定理的证明其实也是很有数学味道的。但是事无巨细都列在这里，恐怕有喧宾夺主之嫌了（以后有机会专门写罗尔定理吧）。好在这个定理是非常符合直觉的:

(罗尔定理) f 在 [a,b] 上连续，在(a,b)上可微。如果f(a)=f(b)，那么区间(a,b)内，存在一点c，使得 f^{\prime}(c)=0.

从罗尔定理我们可以推出中值定理。不过，和洛必达法则相关的，是广义中值定理的。事实上，中值定理和广义中值定理的证明方法倒是类似，就是构造一个结构套罗尔定理就成。

（广义中值定理）f,g 均在 [a,b] 上连续，在(a,b)上可微。那么在区间(a,b)内，存在一点c，使得 [f(b)-f(a)]g^{\prime}(c)=[g(b)-g(a)]f^{\prime}(c)。如果 g^{\prime} 在(a,b)上均非零，式子可以改写成 \frac{f^{\prime}(c)}{g^{\prime}(c)}=\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)} 。

这个东西我还是证明一下吧。

构造一个函数 h(x)=[f(b)-f(a)]g(x)-[g(b)-g(a)]f(x) 。

大家可以验证一下 h 在 [a,b] 上连续，在(a,b)上可微，且h(a)=h(b)。所以对其使用罗尔定理，可知，在区间(a,b)内，存在一点c，使得 h^{\prime}(c)=0 .

h^{\prime}(c)=0 展开来写就是 [f(b)-f(a)]g^{\prime}(c)=[g(b)-g(a)]f^{\prime}(c) 。

另外，如果g^{\prime} 在(a,b)上均非零，我们一定可以得到 g(a)\neq g(b) 。这个东西可以通过反证法来证明，如果 g(a)=g(b) 的话，应用罗尔定理，会存在(a,b)内的一点k，有 g^{\prime}(k)=0 。这个东西与条件g^{\prime} 在(a,b)上均非零矛盾了。

既然 g^{\prime} 在(a,b)上均非零，我们一定可以得到 g(a)\neq g(b) 。所以等式两边同除以 g(b)-g(a)，我们就得到了 \frac{f^{\prime}(c)}{g^{\prime}(c)}=\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)} 。

证毕。

现在就万事俱备了。我们开始着手洛必达法则的 0\0 型。

（洛必达法则的 0\0 型）f,g在区间A上连续。a是A上的一点。 f,g在 A\a 上可导。f(a)=g(a)=0。对于所有的 x\in A\backslash a ， g^{\prime}(x)\neq0 。 如果 \lim_{x\rightarrow a}\frac{f^{\prime}(x)}{g^{\prime}(x)}=L,\ x\in A\backslash a ，那么 \lim_{x\rightarrow a}\frac{f(x)}{g(x)}=L,\ x\in A\backslash a 。

好了，关键就是这个证明。这个证明是啥呀？

我感觉估计让大家想一想，大家又开始用感性的直觉了。

实际上，这么想就行了：我们已知了一个极限，要求另外一个极限，无非就是这么回事情。极限怎么写的啊？那不就是用 \epsilon-\delta 语言写的嘛。

我们选定了一个 \epsilon>0 。

\lim_{x\rightarrow a}\frac{f^{\prime}(x)}{g^{\prime}(x)}=L,\ x\in A\backslash a 。所以对于这个选定了的 \epsilon ,我们可以找到一个对应的 \delta>0 , 当 x\in A\backslash a\cap V_{\delta}(a)\backslash a ，我们有 |\frac{f^{\prime}(x)}{g^{\prime}(x)}-L|<\epsilon 。（把极限的定义当“性质”用）

我们在 A\backslash a\cap V_{\delta}(a)\backslash a 任意选取一点 x_0 。

如果 x_0<a 。

f,g在 [x_0,a]上连续，在 (x_0,a) 上可微。 g^{\prime} 在 (x_0,a) 上从不为零。根据广义中值定理，在 (x_0,a) 上存在一点c，使得 \frac{f^{\prime}(c)}{g^{\prime}(c)}=\frac{f(a)-f(x_{0})}{g(a)-g(x_{0})}=\frac{f(x_{0})}{g(x_{0})}

显然 c\in A\backslash a\cap V_{\delta}(a)\backslash a ，所以 |\frac{f^{\prime}(c)}{g^{\prime}(c)}-L|<\epsilon 。

这就意味着， |\frac{f(x_{0})}{g(x_{0})}-L|<\epsilon 。

一样的道理，如果 x_0>a ，我们也可以得到 |\frac{f(x_{0})}{g(x_{0})}-L|<\epsilon 。

好了以上这段话连起来怎么说？

我们选定了一个 \epsilon>0 。找了一个对应的 \delta 。在在 A\backslash a\cap V_{\delta}(a)\backslash a 任意选取一点 x_0，都有|\frac{f(x_{0})}{g(x_{0})}-L|<\epsilon 。根据极限的定义， \lim_{x\rightarrow a}\frac{f(x)}{g(x)}=L,\ x\in A\backslash a 。（把极限的定义当“判定”用）

证毕。

这样就完事了呗。对吧。orz

总结一下洛必达法则0\0型的证明结构（其实这个结构适用于大部分已知一个极限求另一个极限这一类问题）。

（1）我们选定了一个 \epsilon>0 。

（2）对于这个 \epsilon ，和已知的那个极限，把极限的定义当性质用一遍，在这个过程中我们得到了相对应的 \delta 。

（3）对于所有的“ x\in A\cap V_{\delta}(c)\backslash c ”都有“ |f(x)-L|<\epsilon "。这个过程中会用到（2），另外有一些根据具体问题的创造性工作，就比如在洛必达法则的证明中我们用广义中值定理沟通了 \frac{f}{g} 与 \frac{f^{\prime}}{g^{\prime}} 。

（4）（1）到（3）整体看起来就是一个极限的判定结构！从而我们从一个已知极限，判定了另一个未知极限！

--分割线--

我也看了此问题下的部分答案。

比如马同学答案里的“根据割线的极限即切线”这样子的东西就是直觉，东西自然是很好，但是还不够的。记得本篇开头那个我没写证明的罗尔定理吗？如果按直觉的话，这道题画个图，然后写证毕就行了，这样显然还是会让人内心不安的。什么是已知的？什么是未知的？什么是要证明的？最后杂在一起，问题越来越大，越来越不清晰。

在数学史上，从微积分的直觉，到数学分析的建立其实也是跨了悠悠百年的辗转。对于这个洛必达法则，分析学里用 \epsilon-\delta 语言把直觉的、不清晰的东西变得清晰，而可解析、可证明，这自是数学史上的一个飞跃。

至于有些同学的答案里用泰勒公式去解释洛必达法则的，我心里自是有些担忧了。因为从分析的框架里泰勒公式是在洛必达法则之后的，也就是泰勒公式是一个比洛必达法则更强的结论。泰勒公式自是可以用来“印证”洛必达法则，说明整个分析大厦是自洽的，却不能用来证明洛必达法则，否则就有循环证明之嫌了。

这里再留下两个问题给大家练习吧。（如果看得人多，我也可以给大家再单独写两篇）

问题1 洛必达法则有赖于广义中值定理，而广义中值定理则来自于罗尔定理。那么请大家去追究一下罗尔定理的来源们吧。（事实上罗尔定理来自于Extreme Value Theorem和Interior Extremum Theorem，前一个定理需要讲紧集，这个是点集拓补里的一个小东东了，也就是说在整个分析大厦里，如果你想讲洛必达法则，讲罗尔定理，一定是在前面插播了点集拓补的基础知识的。）

问题2 我前面把洛必达法则0\0型的证明手段，抽象成了一般地如何解决“已知一个极限求另一个极限”这一类问题。那么请用这个方法，去证明洛必达法则的 \infty \ \infty 型。

谢邀，只说0比0情况，就是在那点泰勒展开，如果0次项都是0就是比1次项，直接算泰勒展开太麻烦，就求导就好了。

考虑到一次函数 f(x)=k_1x+b_1,g(x)=k_2x+b_2 在 b_1=b_2=0 时 \frac{f(x)}{g(x)} 才恒等于 \frac{k_1}{k_2} ，当然函数值趋近于无穷时某种意义上截距可以忽略不计所以也是这样……

严格证明见此

洛必达法则，一个富二代用钱买来的数学定理。有句谚语“遇事不决洛必达”，说明它非常好用。其实它非常好理解，甚至相比于泰勒展开它简单太多，它只不过是一阶泰勒展开。本施篇文章从

1. 背景介绍
2. 内容介绍
3. 使用限制
4. 直观解释
5. 严格推导
6. 极限可以取到无穷远

6个维度去彻底认识洛必法则，关于泰勒展开的文章参见

之所以很多考试题目禁止使用洛必达法则是因为直接使用结论就跳过了出题人要考察的思想。如果我们做题时推导过程把洛必达法则的思想也简单体现出来，而不是直接使用结论那就不会被禁止了。因为这相当于没有使用洛必达法则，而是你自己直接悟出了这种思想，正所谓“英雄所见略同”。但前提是得遇到明智的阅卷老师，否则他会因为不懂而误以为你不是“精金”，而是“秽土”。

1. 背景介绍

在严格解释与认证之前，我们先介绍一下背景。洛必达法则是在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定原分式极限的方法，其实这是由瑞士数学家伯努力发现的，只不过当时洛必达买走了伯努力的知识产权，后来以洛必达命名。

洛必达是法国中世纪的王公贵族，他喜欢并且酷爱数学，后拜伯努利为师学习数学。但洛必达法则并非洛必达本人研究。实际上，洛必达法则是洛必达的老师伯努利的学术论文，由于当时伯努利境遇困顿，生活困难，而学生洛必达又是王公贵族，洛必达表示愿意用财物换取伯努利的学术论文，伯努利也欣然接受。此篇论文即为影响数学界的洛必达法则。

在洛必达死后，伯努利宣称洛必达法则是自己的研究成果，但欧洲的数学家并不认可，他们认为洛必达的行为是正常的物物交换，因此否认了伯努利的说法。事实上，科研成果本来就可以买卖，洛必达也确实是个有天分的数学学习者，只是比伯努利等人稍逊一筹。

洛必达花费了大量的时间精力整理这些买来的和自己研究出来的成果，编著出世界上第一本微积分教科书，使数学广为传播。

并且他在此书前言中向莱布尼兹和伯努利郑重致谢，特别是约翰·伯努利。这是一个值得尊敬的学者和传播者，他为这项事业贡献了自己的一生。

2. 内容介绍

洛必达法则是在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法，即

\lim\limits_{x\rightarrow x_{0}}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim\limits_{x\rightarrow x_{0}}\frac{f'(x)}{g'(x)} ,

当然这里的 x_{0} 可以为 \pm\infty

3. 使用限制

我们使用洛必达法则求极限必须要注意分子分母必须同时为零或者为无穷大，否则我们会得到错误的结果。例如

\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{x+1}{x}\neq\frac{1}{1}

4. 直观解释

我们对 \frac{0}{0} 弄和 \frac{\infty}{\infty} 型分别进行讨论。对于前者，因为在在该点分子分母分别为 0 , 因此该点的极限直接看我们并不知道是多少，所以我们要看该点附近的变化趋势，由变化趋势所决定，也就是它们的导数在该点的比值。对于后者，因为该点的分子分母皆为无穷大，对于无穷大，也是由变化趋势所决定，因为在距离该点比较远的地方所累积的值（有限值）相比于该点附近所累积的值可以忽略不计，该点附近累积的值则正是导数。有了直观的解释以后，下面我们来具体的严格推导。

5. 严格推导

1. 严格推导第一种情况，对于 \frac{0}{0} 型

即假定函数 f(x), g(x) 满足

f(x_{0})=0, ~~~g(x_{0})=0

则，显然它地该点的极限由该点附近的行为所决定，即由该点附近的趋势所决定

\lim\limits_{x\rightarrow x_{0}}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim\limits_{x\rightarrow x_{0}}\frac{f(x_{0})+f'(\zeta)(x-x_{0})}{g(x_{0})+g'(\zeta)(x-x_{0})}=\lim\limits_{x\rightarrow x_{0}}\frac{f'(x)}{g'(x)}

其中， \zeta 在 x_{0} 与 x 之间。

2. 严格推导第二种情况

对于\frac{\infty}{\infty} 型, 若 \lim\limits_{x\rightarrow\infty}\frac{f(x)}{g(x)} 存在，则

\lim\limits_{x\rightarrow x_{0}\\}\frac{f(x)}{g(x)} =\lim\limits_{x\rightarrow x_{0}\\\Delta x\rightarrow 0}\frac{f(x+\Delta x)}{g(x+\Delta x)}\Longleftrightarrow \lim\limits_{x\rightarrow x_{0}}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim\limits_{x\rightarrow x_{0}\\\Delta x\rightarrow 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{g(x+\Delta x)-g(x)}=\lim\limits_{x\rightarrow x_{0}}\frac{f'(x)}{g'(x)}

反之，若 \lim\limits_{x\rightarrow\infty}\frac{f'(x)}{g'(x)} 存在，不妨假定其极限为 l ，则对于任意小的 \varepsilon , 存在足够小的 \delta , 使得当 |x-x_{0}|<\delta 时，

l-\varepsilon<\lim\limits_{|x-x_{0}|<\delta}\frac{f'(x)}{g'(x)}<l+\varepsilon\\\Longleftrightarrow l-\varepsilon<\lim\limits_{|x-x_{0}|<\delta\\\Delta x\rightarrow0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{g(x+\Delta x)-g(x)}<l+\varepsilon\\ \Longrightarrow l-\varepsilon<\frac{\lim\limits_{x\rightarrow x_{0}}f(x)-f(x_{0}\pm\delta )}{\lim\limits_{x\rightarrow x_{0}}g(x)-g(x_{0}\pm\delta)}<l+\varepsilon\\ \Longrightarrow\lim\limits_{x\rightarrow x_{0}}\frac{f(x)}{g(x)}=l

6. 极限可以取到无穷远

以上推导为 x_{0} 有限的情况，对于 x_{0} 无限的情况也是同理。只需要将

|x-x_{0}|<\delta, ~~~x\rightarrow x_{0}

改为

x>N, ~~~ x\rightarrow+\infty

或

x<-N, x\rightarrow-\infty

其中 N 为一个绝对值足够大的正数。

在理解了泰勒公式之后，我(很不严谨地)理解的洛必达法则就是...

想象分数线上下已经完成了泰勒展开，对其求导就和对泰勒展开式求导一样。谁先被约没了谁孙子。

想要完全了解洛必达法则的来龙去脉，必须从高等数学的极限、微分中值定理来解释，洛必达法则其实就是柯西中值定理的一个重要应用，并没有像很多人说的那么玄幻，另外除了同济《高等数学》中的“0/0，无穷/无穷”这两种类型外还有很多别的类型，视频中都有详细的讲解。

前言

在引入极限的概念之后，我们计算过一些奇怪的极限，例如 \displaystyle\frac{0}{0} 形式的极限，而现在我们将利用导数完成对这些特殊极限的简单求解。

柯西中值定理的变形

首先我们来观察一下之前的柯西中值定理：

\displaystyle\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}

如果两个函数在a处都为0，那么就会变成：

\displaystyle\frac{f(b)}{g(b)}=\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}

函数之比转化为了导数之比，而且满足不等式：

a<\xi <b

只要我们让b变成一个趋向于a的极限，就能得到：

\displaystyle\frac{f(a)}{g(a)}=\frac{f'(a)}{g'(a)}

即我们可以对分子分母同时求导，来计算 \displaystyle\frac{0}{0} 形式的极限，这被称为洛必达法则。

此外，我们还可以将洛必达法则扩展到无穷远处：

\displaystyle\frac{\lim\limits_{x\to \infty}f(x)}{\lim\limits_{x\to \infty}g(x)}=\frac{\lim\limits_{x\to \infty}f'(x)}{\lim\limits_{x\to \infty}g'(x)},\lim\limits_{x\to \infty}f(x)=\lim\limits_{x\to \infty}g(x)=0

练习：证明无穷远处的洛必达法则。

值得注意的是，尽管我们有了一种无脑的机械式计算方法，但实际计算中优先将一些适合分离的极限部分采用传统方法求解，会让计算更有效率。

练习：计算 \displaystyle\lim\limits_{x\to0}\frac{\ln\cos x}{x(x+2)} 。

洛必达法则

完整的洛必达法则并不仅限于 \displaystyle\frac{0}{0} 形式的极限，我们知道趋向于0的极限，取倒数便会成为趋向于无穷，因此很自然地想到 \displaystyle\frac{\infty}{\infty} 形式的极限应该也能使用洛必达法则。

接下来我们尝试证明，对于 \displaystyle\lim\limits_{x\to a} f(x)=\lim\limits_{x\to a} g(x)=\infty ，如果极限 \displaystyle\lim\limits_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)} 存在，则有：

\displaystyle\lim\limits_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim\limits_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}

我们首先只考虑极限有限的情况，假设极限为：

\displaystyle\lim\limits_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}=l

按照之前类似的思路，我们先利用中值定理进行变形再取极限。

\displaystyle\frac{f(x)-f(b)}{g(x)-g(b)}=\frac{f(x)-f(b)}{g(x)}\frac{g(x)}{g(x)-g(b)}=(\frac{f(x)}{g(x)}-\frac{f(b)}{g(x)})(1-\frac{g(b)}{g(x)})^{-1}

此时我们让g取到无穷大，也就是x趋向于a，得到：

\displaystyle\lim\limits_{x\to a}(\frac{f(x)}{g(x)}-\frac{f(b)}{g(x)})(1-\frac{g(b)}{g(x)})^{-1}=\lim\limits_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}

再让最初的b趋向于a，利用中值定理即可证明。

如果要进行严格的证明，反过来假设会比较方便，首先给出a附近的一个邻域：

l-\epsilon<\displaystyle\frac{f'(x)}{g'(x)} <l+\epsilon

再从邻域中选取我们需要的b：

\displaystyle l-\epsilon<\frac{f(x)-f(b)}{g(x)-g(b)}=\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)} <l+\epsilon,\quad b\in(a,a+\delta),\xi\in(b,x)

根据我们之前的变形，取极限最终得到：

\displaystyle l-\epsilon<(\frac{f(x)}{g(x)}-\frac{f(b)}{g(x)})(1-\frac{g(b)}{g(x)})^{-1} <l+\epsilon

\displaystyle \lim\limits_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=l=\lim\limits_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}

探索：无穷处的洛必达法则会如何扩展？

极限存在的必要性

值得注意的是，极限的存在是十分必要的，例如：

\displaystyle\lim\limits_{x\to \infty}\frac{x+\sin x}{x}=1+\lim\limits_{x\to\infty}\frac{\sin x}{x}=1

而如果直接使用洛必达法则，则会发现极限不存在：

\displaystyle\lim\limits_{x\to \infty}\frac{x+\sin x}{x}=\lim\limits_{x\to\infty}\frac{1+\cos x}{1}

同样地，我们可以知道求导后的极限不存在不能得出原先的极限不存在的结论，由此也可以看出洛必达法则的一些局限性。

练习：比较 x\to\infty,\ln x,x^a,e^x,x^x 的无穷大阶数。

事实上，后一个都是比前一个更高阶的无穷大。

后记

经过艰难的探索研究，现在我们终于掌握了洛必达法则这一种极为强大的工具，现在出现的极限计算还只是冰山一角，后续我们还将研究洛必达法则的各类变形。

但同时，洛必达法则也有自身的局限性，这将促使我们继续研究更为普适的结论，走向一元微分学的顶峰。

按照教材上面的理解应该就足够了吧。

首先，对于 f(x)和g(x)这两个函数，求\lim\limits_{x\rightarrow a}{\frac{f(x)}{g(x)}}\newline 如果\lim\limits_{x \rightarrow a}{f(x)}\ne 0 和\lim\limits_{x \rightarrow a}{g(x)}\ne 0 显然极限直接可以计算。 \newline 仅当\lim\limits_{x \rightarrow a}{f(x)}= 0 和\lim\limits_{x \rightarrow a}{g(x)}= 0 才需要考虑用其他方法计算极限\newline 已知\lim\limits_{x \rightarrow a}{f(x)}= 0 \space\space\space\space\lim\limits_{x \rightarrow a}{g(x)}= 0\newline 若f(x)和g(x)在x=a处连续，显然f(a)=g(a)=0\newline 若不连续，极限值和函数值无关，规定f(a)=g(a)=0确保函数连续。\newline 柯西中值定理\lim\limits_{x\rightarrow a}{\frac{f(x)}{g(x)}}=\lim\limits_{x\rightarrow a}{\frac{f(x)-f(a)}{g(x)-g(a)}}=\lim\limits_{x\rightarrow a}{\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}}(\xi\in(x,a))\newline 当x\rightarrow a时，\xi \rightarrow a，于是就得到了\lim\limits_{x\rightarrow a}{\frac{f(x)}{g(x)}}=\lim\limits_{x\rightarrow a}{\frac{f'(x)}{g'(x)}}\newline 至于x\rightarrow \infty情况，自变量取倒数，即\frac{1}{x}\rightarrow 0，当然也就满足诺比达条件啦

我的高数老师曾说过：洛必达的本质就是泰勒展开。

当不符合洛必达法则运算所需条件，但强制使用洛必达法则仍可以算出一个错误的结果时，大抵会让你感觉出洛必达法则的奇妙和魅力。