初中数学备考必刷038-原来正方形夹半角模型也可以这么考！
正方形是八年级下学期的教学重点也是考试重点，期中和期末考试里都经常出现，而且往往会是压轴题。提前研究好正方形，说不定你可以轻松搞定压轴题，拿个高分。
今天给大家分享的是武汉硚口区2020年八下数学期中考试的压轴题，考查的是正方形夹半角模型，第一问送分题，后面的两个问题就考查变通能力了。
我们先来看看题目：
武汉硚口区2020八下期中考试压轴题.
(1)如图1，正方形ABCD，∠EAF=45°，E在BC上，F在CD上，求证BE+DF=EF
(2)如图2，正方形ABCD,PA与PB交于P点，角APB=45°，CH=3，GH=1,求AG.
(3)如图3，在长方形ABCD中,∠EAF=45°，E在BC上，F在CD上，DF:AD:AB=1:2:4,求BE和CE的数量关系。
（1）问很简单，这是一个典型的正方形夹半角模型。
证明：如图1-1延长CD至M，使MD=BE,连接AM.
在△ABE和△ADM中：AB=AD,∠ABE=∠ADM,BE=DM
∴△ABE△ADM
∴∠MAD=∠EAB,∠MAD+∠DAF=45°， AM=AE
在△AMF和△AEF中：AM=AE,∠MAF=∠EAF=45°，AF=AF
∴△AMF△AEF
∴EF=MF=MD+DF=BE+DF
(2)分析与解答：
根据正方形夹半角模型来看，至少需要具备以下三个典型特征：
正方形，45°角，45°角的顶点与正方形的某个顶点重合
此题中已给出了正方形，但是另外两个特征不明显，我么就需要做出辅助线来满足45°角和45°角的顶点与正方形的某个顶点重合的特征。
题目已经给出了∠APB=45°，只需作AM⊥PB交BP于N，交BC于M，这样就有完整的正方形夹半角模型呈现出来。并且还具备正方形中的十字架模型特征：AM⊥BH.
简解：作AM⊥BP分别交BP于N，交BC于M，连GM。
易证：△ABM△BCH(ASA),所以BM=CH=3.
设DG=m,根据第一问结论可知GM=DG+BM=m+3.
CM=BC-BM=DC-BM=m+1+3-3=m+1
在Rt△CMG中：
(GM^2)=(MC^2)+(GC^2),解：m=2.
AD=DC=m+4=6,DG=2,易求AG=2√(10).
（3）分析与解答：根据正方形夹半角模型来看，至少需要具备以下三个典型特征：
正方形，45°角，45°角的顶点与正方形的某个顶点重合。
此题中已给出了45°角，并且45°角的顶点与长方形的顶点A重合，那我们就构造正方形。
构造正方形有两种方式：
法1：如图3-1，根据AD:AB=2:4,取AB中点M，作MN垂直DC,则四边形ADNM是正方形,MN交AE于G,连GF.
法2：如图3-2，根据AD:AB=2:4,分别倍长AD和BC至M,N.连MN,则四边形AMNB是正方形。EK，延长AF交MN于K.
法3：12345模型秒解：DF:AD=1:2,则BE:AB=1:3
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