云南省楚雄天人中学2021-2022学年高二上学期12月月考试题数学（A卷）含答案

楚雄天人中学2023届高二年级上学期12月学习效果监测

数学试卷A

（考试时间：120分钟，满分：150分）

制卷：   保密时间：12月29日7时40分前

一、选择题（本大题共12题，每题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

2．若复数满足（i是虚数单位），则（    ）

A． B． C． D．

3．若圆心坐标为的圆被直线截得的弦长为，则这个圆的方程是（    ）

A． B．

C． D．

4．设等差数列的前n项和为，若，则当取最小值时，等于（    ）

A．6 B．7 C．8 D．9

5．在等比数列中，，，则（    ）

A． B． C．或  D．或

6．若，则（    ）

A． B． C． D．

7．已知，，两直线，，且，则的最小值为（    ）

A．9 B．8 C．4 D．2

8．已知，是两条不同的直线，，为两个不同平面，则下面四个命题中，正确的命题是（    ）

A．若，，则B．若，，则

C．若，，，则D．若，，，则

9．《九章算术》中有一题：今有牛、马羊食人苗，苗主贵之粟五斗，羊主日：“我羊食半马，”马主曰：“我马食半牛”，今欲衰偿之，问各出几何？其意：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，苗主人要求赔偿五斗粟，羊主人说： “我羊所吃的禾苗只有马的一半”，马主人说：“我马所吃的禾苗只有牛的一半”，打算按此比例偿还，则牛主人比羊主人多赔偿几斗粟（  ）

A． B． C． D．

10．已知数列的前n项和为，，，则（    ）

A． B． C． D．

11．点在双曲线上，、是双曲线的两个焦点，，且的三条边长满足，则此双曲线的离心率是（    ）

A． B． C．2 D．5

12．已知函数，且方程有5个不等的实根，则实数的取值范围是（      ）

A． B． C． D．

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．)

13．已知向量，满足，，，则与的夹角为__________.

14．在等差数列中，若，则_______.

15．已知四面体的四个顶点都在球的表面上，平面，又，且，则球的体积为__________

16．已知是直线上的动点，是圆的切线，是切点，是圆心，那么四边形面积的最小值是________．

三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17．(本小题满分10分)第19届亚运会将于2022年9月在杭州举行，志愿者的服务工作是亚运会成功举办的重要保障.某高校承办了杭州志愿者选拔的面试工作.现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图.已知第三、四、五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同.

（1）求的值；

（2）估计这100名候选者面试成绩的众数，平均数和第分位数（分位数精确到0.1)；

（3）在第四、第五两组志愿者中，现采用分层抽样的方法，从中抽取5人，然后再从这5人中选出2人，以确定组长人选，求选出的两人来自不同组的概率.

18．(本小题满分12分）在①；②；③，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．

问题：已知的内角所对的边分别为____．

（1）求；

（2）若，的周长是，求的面积．

19．(本小题满分12分）如图，在四棱锥中，为正三角形，四边形为梯形，

平面平面且，，，为的中点.

（1）求证：平面；

（2）求直线与平面所成的角的余弦值.

20.　(本小题满分12分）若动点是曲线上的任意一点，且满足到点的距离与它到直线的距离相等

（1）求曲线的轨迹方程；

（2）曲线与过点的直线相交于两点，为原点.若和的斜率之和为，求直线的方程.

21.　(本小题满分12分）已知在各项均为正数的数列中，前项和满足．

（1）求证：数列是等差数列；

（2）若，求数列的前项和．

22.　(本小题满分12分）已知椭圆的短轴长为，离心率为.

（1）求椭圆的方程；

（2）若直线与椭圆相交于，两点（，不是左右顶点），且以为直径的圆过椭圆的左顶点，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标．