隐形圆：定弦对定角模型（知识点总结+典题精析）

这是一份隐形圆：定弦对定角模型（知识点总结+典题精析），共1页。主要包含了课程目标，先验知识，模型意义，模型讲解1，典型例题，讲解说明，强化练习，链接中考等内容，欢迎下载使用。

【对象】隐形圆：定弦对定角模型
【课程目标】
1.识别定弦对定角模型的基本结构及特征。
2.掌握定弦对定角模型的结论，并理解其基本原理。
3.能够应用定弦对定角模型的结论解决几何问题。
大体要点：
1、识别XX模型的基本结构；
2、掌握XX模型结论，理解其基本原理；
3、能够应用XX模型结论解决几何问题.
设计意图：
明确几何模型类的课程目标，从三个方向入手——模型的结构及特征、理解模型结论的基本原理、模型的应用，为课程学习提供方向和指引；
【先验知识】
1、圆周角定理：一条弧所对圆周角等于它所对的圆心角的一半。
推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等。
推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角,90°的圆周角所对的弦是直径
2、圆外一点到圆上一点的最值：
（1）如图，圆外一点P到圆上一点的最短距离为线段PA；
（2）如图，圆外一点P到圆上一点的最长距离为线段PB；
设计意图：
在本课程正式开始之前，将会用到的强相关知识做课前的梳理与讲解（可选择性讲解）.
【导入】
如图 1，△ABC 为等边三角形，AB=2，若 P 为△ABC 内一动点，且满足∠APC=150°，则线段 PB 长度的最小值为 。
【分析】：
因为 AC 定长、∠APC=150°定角，故满足“定弦定角模型”，P 在圆上，圆周角∠APC=150°，通过简单推导可知圆心角∠AOC=60°，故以 AC 为边向下作等边△AOC，以 O 为圆心，OA为半径作⊙O，P 在⊙O 上。当 B、P、O 三点共线时，BP 最短.
【模型意义】
几何模型是解决几何问题的重要工具，其作用和意义如下：
（1）隐形圆—定弦对定角模型，通常以压轴解答题的形式出现，分值在10到12分，考察学生的类比探究、知识迁移能力。
（2）利用模型的结论可以迅速解题（秒杀），直接应用模型结论便捷的解决简单的题目；
（3）利用模型的工具性，把复杂的几何图形问题转化为简单的模型组合，使复杂问题简单化。
大体要点：
以填空或者选择题目引出.
设计意图：
体现模型应用，突出利用模型迅速解题的便捷性（秒杀）.
【模型讲解1】
1.依据：与一条定线段的两端夹角一定的动点路径是以定线为弦，定角为圆周角的弧。
分类一：定线段所对的角为直角
模型特征：AB为定线段（直径），∠ACB=90°固定
条件：如图，AB是一条固定线段，动点C运动时与线段AB两端所形成的夹角是90°（即∠ACB=90°）.
作法：以AB为直径作圆O.
结论：点C在以AB为直径，且与A、B不重合的圆上。
关键点：因直径所对的圆周角是90°，当动点C与定线段AB的两端夹角是90°时（即∠ACB=90°），往往构造圆是解题的突破口.
分类二：定线段所对的角为锐角

模型特征：AB为定线段，∠ACB=固定
条件：如图，AB是一条固定线段，动点C运动时与线段AB两端所形成的夹角不变，且为锐角（即∠ACB=不变，且为锐角）
结论：点C在以AB为弦，所对圆周角为的优弧上。
关键点：同弧所对的圆周角相等→同弦所对的圆周角相等，是构造圆的突破口。
分类三：定线段所对的角为钝角
模型特征：AB为定线段，∠ACB=固定
条件：如图，AB是一条固定线段，动点C运动时与线段AB两端所形成的夹角不变，且为钝角（即∠ACB=不变，且为钝角）
结论：点C在以AB为弦，所对圆周角为的劣弧上。
关键点：同弧所对的圆周角相等→同弦所对的圆周角相等，是构造圆的突破口。
大体要点：
1、模型基本图形
2、已知条件+结论
3、关键点
4、模型结论的推导
设计意图：
突出模型的基本结构，理解模型结论的推导过程.
【典型例题】
例1：如图，在边长为的等边△ABC中，动点D、E分别在BC、AC边上，且保持AE=CD，连接BE、AD，相交于点P，则CP的最小值为 .
【讲解说明】
模型：隐形圆—定弦对定角模型
条件：等边△ABC，AE=CD．
结论：△ABE≌△CAD（SAS），∠APB=120°→点P在以AB为弦，所对圆周角为120°的劣弧上．
求解：由点P的轨迹，从而得到当圆心O、P、C三点共线时，CP最短，此时CP=2。
例2：如图，∠XOY = 45°，等边三角形ABC的两个顶点A、B分别在OX、OY上移动，AB = 2，那么OC的最大值为 .
【解析】：①AB为定线段，∠XOY为定角，O点路径在以AB为弦所对圆周角为45°的弧上，如下图；
②则问题转化为求定点C到定圆M的最长路径，即O、M、C三点共线时，OC最长
【解答】：
如图：
连接OC，当OC垂直平分AB时，OC最大。
此时∠ACO=30°，∠AOC=22.5°.
在直角△ACE中,CE=AC⋅sin60°=2×=.
AE=AC⋅cs60°=2×=1.
在直角△AOE中,∠AOE=22.5°，∠OAE=67.5°，
在EO上截取EF=EA=1，连接AF，则△AEF是等腰直角三角形，
∴AF=,∠EAF=45°，
∴∠FAO=22.5°=∠FOA.
∴FO=FA=，
∴OC=OF+FE+EC=
例3：如图，已知E、F为等边△ABC边AB、AC上的动点，且AF=BE，连接CE、BF交于点T，若等边△ABC的边长为6，求点T运动的路径长。
【分析】：本题中点E或点F是主动点，由E、F的运动带动点T的运动，因AF=BE，△ABF≌△BCE（SAS）,因此∠1=∠2，进而得到∠2+∠3=∠1+∠3=60°，那么可得∠BTC=120°，并且随着点的运动，这个角度大小不变，由此找到定弦为BC，定角为∠BTC=120°。如下图，点T在以BC为弦，所对圆周角为120°的劣弧上．
例4：矩形ABCD中，AB=10，AD=4，点P是CD上的动点，当∠APB=90°时求DP的长.
【解析】：①因为点P是动点，要求DP的长，需要先确定点P的位置
②AB为定线，∠APB为定角（90°）→P点在以AB为直径的圆上，如下图
③点P是CD上的动点，易得点P的位置（即）。
【解答】：

如图，以AB的中点O为圆心，AB的一半5为半径作圆，交CD于点P，点P即为所求；
设PC=x，则PD=10−x，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D=∠C=90∘，
∴∠DAP+∠APD=90∘，
∵∠APB=90∘，
∴∠APD+∠BPC=90∘，
∴∠DAP=∠CPB，
∴△ADP∽△PCB，
∴ADPC=DPCB,即4x=10−x4，
解得：x=2或8，
PD=10−x=2或8，即PD=2或8.
【强化练习】
练习1：如图，∠MON=90∘，已知△ABC中，AC=BC=13，AB=10，△ABC的顶点A、B分别在边OM、ON上，当点B在边ON上运动时，A随之在OM上运动，△ABC的形状始终保持不变，在运动的过程中，点C到点O的最小距离为（ ）
A.5 B.7 C.12 D.26
【考点】
点与圆的位置关系；圆周角定理
【难度】 较难
【解答】
解：作CH⊥AB于H，连接OH，如图，
∵ AC=BC=13，
∴ AH=BH=12AB=5，
在Rt△BCH中，CH=BC2−BH2=132−52=12，
∵ H为AB的中点，
∴ OH=12AB=5，
∵ OC≥CH−OH（当点C、O、H共线时取等号），
∴ OC的最小值为12−5=7．
故选B．
练习2：
如图 1 所示，边长为 2 的等边△ABC 的顶点B 在 x 轴的正半轴上移动，∠BOD=30°，顶点 A 在射线 OD 上移动，则顶点 C 到原点 O 的最大距离为 。
【简答】：
因为∠AOB=30°（定角），AB=2（定弦），故 A、B、O 三点共圆，圆心角为 60°，故以 AB 为边向 O 方向作等边△ABQ，∠AQB=60°为圆心角，Q 为圆心，以 QA 为半径作⊙ Q （ 如 图 2 ）， 可 知 当 OC ⊥ AB 时 ， OC 距 离 最 大 。
练习3：如图，△ABC中， AC＝3，BC＝，∠ACB＝45°，D为△ABC内一动点，⊙O为△ACD的外接圆，直线BD交⊙O于P点，交BC于E点，弧AE＝CP，则AD的最小值为（ ）
A．1B．2C．D．
【分析】：
∵∠CDP＝∠ACB＝45°
∴∠BDC＝135°（∠BDC为定角）
且BC为定弦，符合定弦定角模型
解：∵∠CDP＝∠ACB＝45°
∴∠BDC＝135°（定弦定角最值）
如图，当AD过O′时，AD有最小值
∵∠BDC＝135°
∴∠BO′C＝90°
∴△BO′C为等腰直角三角形
∴∠ACO′＝45°＋45°＝90°
∴AO′＝5
又O′B＝O′C＝4
∴AD＝5－4＝1
练习4：
已知A（2，0），B（4，0）是x轴上的两点，点C是y轴上的动点，当∠ACB最大时，则点C的坐标为 ．
【简析】：
作ΔABC的处接圆M，当∠ACB最大时，圆心角∠AMB最大，当圆M半径最小时∠AMB最大，即当圆M与y轴相切时∠ACB最大。
如下图，易得C点坐标为（0，2√2）或（0，-2√2）。
练习5：
已知矩形ABCD,AB=6,AD=43
(1)如图1,在矩形ABCD内部找一点P,使∠APB=90°；
(2)如图2,在矩形ABCD内部画出使∠APB=60°的点P的轨迹；
(3)在(2)的条件下，求DP的取值范围及P的轨迹长。
【解析】

练习6：
(2020．开福区模拟）矩形ABCD中，AB=5,AD=2，点P是CD上的动点，当∠APB=90°时，DP的长是（ ）
A.1 B.3 C.1或3 D.1或4
【解析】：①因为点P是动点，要求DP的长，需要先确定点P的位置
②AB为定线，∠APB为定角（90°）→P点在以AB为直径的圆上，如下图
③点P是CD上的动点，易得点P的位置（即）。
易得DP=1或4
练习7：
如图，矩形ABCD中，AB＞AD，P为CD上异于C、D的一动点，且△APB为直角
（1）若AB=5，AD=2，则DP=
（2）若AB＝ａ，AD=b，当a、b满足什么条件时，使△ABP为直角三角形的P点只有一个？
【解析】：①因为点P是动点，要求DP的长，需要先确定点P的位置
②AB为定线，∠APB为定角（90°）→P点在以AB为直径的圆上，如下图
③点P是CD上的动点，易得点P的位置（即）。
（1）易得DP=1或4
P点只有1个→圆与CD只有1个交点→CD与⊙O相切。
易得a=2b
【链接中考】
真题1： （2017·江苏·中考模拟）如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ABC=90∘，AB=BC=2，P是△ABC所在平面内一点，且满足PA⊥PB，则PC的取值范围为________．
【分析】据条件可知线段AB是定值且AB所对的张角∠APB是定值，根据直径所对圆周角为直角可知，动点P的运动轨迹在过点A、B、P三点的圆周上（不与A、B重合），连结CO并延长交圆O分别为P1、P2，PC的在P1C最小，P2C最大，据此求解可得．
【考点】
点与圆的位置关系
等腰直角三角形
圆周角定理
三角形的外接圆与外心
【难度】 困难
【解答】
解：∵ PA⊥PB，即∠APB=90∘，AB=BC=2，
∴ 点P在以AB为直径、AB的中点O为圆心的⊙O上，
如图，连接CO交⊙O于点P1，并延长CO交⊙O于点P2，
∵ BO=12AB=1、BC=2，∠ABC=90∘，
∴ CO=BC2+BO2=22+12=5，
当点P位于点P1时，PC的长度最小，此时PC=OC−OP=5−1；
当点P位于点P2时，PC的长度最大．此时PC=OC+OP=5+1；
∴ 5−1≤PC≤5+1，
故答案为：5−1≤PC≤5+1．
真题2： （2019·江西·中考真卷）在平面直角坐标系中，A，B，C三点的坐标分别为（4，0），（4，4），（0，4），点P在x轴上，点D在直线AB上，若DA＝1，CP⊥DP于点P，则点P的坐标为 ．
【分析】
先由已知得出D1（4，1），D2（4，﹣1），然后分类讨论D点的位置从而依次求出每种情况下点P的坐标．
【解答】
解：∵A，B两点的坐标分别为（4，0），（4，4）
∴AB∥y轴
∵点D在直线AB上，DA＝1
∴D1（4，1），D2（4，﹣1）
如图：
（Ⅰ）当点D在D1处时，要使CP⊥DP，即使△COP1～△P1AD1
∴
即
解得：OP1＝2
∴P1（2，0）
（Ⅱ）当点D在D2处时，
∵C（0，4），D2（4，﹣1）
∴CD2的中点E（2，）
∵CP⊥DP
∴点P为以E为圆心，CE长为半径的圆与x轴的交点
设P（x，0），则PE＝CE
即
解得：x＝2±2
∴P2（2﹣2，0），P3（2+2，0）
综上所述：点P的坐标为（2，0）或（2﹣2，0）或（2+2，0）．
真题3：
（2018年贵州-贵阳中考真题）如图，AB为⊙O的直径，且AB=4，点C在半圆上，OC⊥AB，垂足为点O，P为半圆上任意一点，过P点作PE⊥OC于点E，设△OPE的内心为M，连接OM、PM．
(1)求∠OMP的度数；
(2)当点P在半圆上从点B运动到点A时，求内心M所经过的路径长．
【分析】
由第一问可知∠OMP=135°连接CM可得 ∠CMO=∠PMO=135∘（ ∠CMO为定角）且OC为定线段，可识别出为定弦对定角模型
解：(1)∵ △OPE的内心为M，
∴ ∠MOP=∠MOC，∠MPO=∠MPE，
∴ ∠PMO=180∘-∠MPO-∠MOP=180∘-12(∠EOP+∠OPE)，
∵ PE⊥OC，即∠PEO=90∘，
∴ ∠PMO=180∘-12(∠EOP+∠OPE)=180∘-12(180∘-90∘)=135∘，
(2)如图，
∵ OP=OC，OM=OM，
而∠MOP=∠MOC，
∴ △OPM≅△OCM，
∴ ∠CMO=∠PMO=135∘，
所以点M在以OC为弦，并且所对的圆周角为135∘的两段劣弧上(OMC和ONC)；
点M在扇形BOC内时，
过C、M、O三点作⊙O'，连O'C，O'O，
在优弧CO取点D，连DA，DO，
∵ ∠CMO=135∘，
∴ ∠CDO=180∘-135∘=45∘，
∴ ∠CO'O=90∘，而OA=2cm，
∴ O'O=22OC=22×2=2，
∴ 弧OMC的长=90π×2180=22π(cm)，
同理：点M在扇形AOC内时，同①的方法得，弧ONC的长为22πcm，
所以内心M所经过的路径长为2×122π=2πcm．
设计意图：
链接中考真题，它是这样考的，老师就是这样教你的，让学生心理认知上也能够跟老师趋同.
【课堂总结】
一、模型特征：AB为定线段，∠ACB=固定
条件: 如图，AB是一条固定线段，动点C运动时与线段AB两端所形成的夹角固定不变（即∠ACB=）
结论:点C在以AB为弦，所对圆周角为的弧上。
关键点:
①90°的圆周角所对的弦是直径，
②同弧所对的圆周角相等→同弦所对的圆周角相等
解题的突破口：构造圆.
二、题型分类和使用场景
①定弦对定角的求最值问题（最大值、最小值）
②定弦对定角的运动轨迹问题
大体要点：
回忆课堂内容，强化学生的理解和掌握：模型结构结论、方法、技巧、思想、重难点、易错点、模型应用题型等；
设计意图:
Check学习目标，是否达成，学会了什么，还有哪些问题；
强化学习的意义和作用.
备注：
具体制作参照样例进行，相关板块围绕制作模板提示要点展开，需要在板块下方按样例格式附加设计意图.
学习对象
使用场景
建议课时
制作人
学生 教师
 预科 同步复习 专题复习
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