引言

本文主要介绍策略梯度算法的一种改进——带基线的策略梯度算法(Reinforce with baseline)。通过引入基线，有效降低了学习过程中的方差，从而提升训练过程的稳定性。

1 基线

基线函数 $B(s)$ 可以是任意随机函数或确定函数，它可以与状态 $s$ 有关，但是不能和动作 $a$ 有关。满足这样的条件后，基线函数自然满足

$E\left [ \gamma ^{t}\left ( G_{t}-B\left ( S_{t} \right ) \right )\triangledown ln\pi _{\theta }\left ( A_{t}\mid S_{t} \right ) \right ]=E\left [ \gamma ^{t}G_{t}ln\pi _{\theta }\left ( A_{t}\mid S_{t} \right ) \right ]$

证明：

由于 $B(s)$ 和动作 $a$ 无关，所以

$\sum_{a}^{}B\left ( S_{t} \right )\triangledown \pi _{\theta }(a\mid S_{t})=B\left ( S_{t} \right )\triangledown \sum_{a}^{}\pi _{\theta }(a\mid S_{t})=B\left ( S_{t} \right )\triangledown 1=0$

进而

$E\left [ \gamma ^{t}\left ( G_{t}-B\left ( S_{t} \right ) \right )\triangledown ln\pi _{\theta }\left ( A_{t}\mid S_{t} \right ) \right ]$

$=\sum_{a}^{}\gamma ^{t}\left ( G_{t}-B\left ( S_{t} \right ) \right )\pi _{\theta }(A_{t}\mid S_{t})\triangledown ln\pi _{\theta }(A_{t}\mid S_{t})$

$=\sum_{a}^{}\gamma ^{t}\left ( G_{t}-B\left ( S_{t} \right ) \right )\triangledown \pi _{\theta }(A_{t}\mid S_{t})$

$=\sum_{a}^{}\gamma ^{t}G_{t}\triangledown \pi _{\theta }(A_{t}\mid S_{t})$

$=E\left [ \gamma ^{t}G_{t}\triangledown ln\pi _{\theta }(A_{t}\mid S_{t}) \right ]$

得证。

2 如何选择基线

选择基线时，应当参照一下两个思想：

1.基线的选择应当有效降低方差。一个基线函数能不能降低方差不容易在理论上判别，往往需要通过实践获知。

2.基线函数应当是可以得到的。例如我们不知道最优价值函数，但是可以得到最优价值函数的估计。价值函数的估计也可以随着迭代过程更新。

一个能有效降低方差的基线是状态价值函数的估计，如Reinfoece_with_baseline算法所示。

3 Reinfoece_with_baseline算法伪代码

4 最佳基线的确定

接下来，我们来分析什么样的基线函数能最大程度地减小方差。根据方差与期望之间的联系：

$D\left ( X \right )=E\left ( X^{2} \right ) - \left [E\left ( X \right ) \right ]^{2}$

$E\left [ \gamma ^{t}\left ( G_{t}-B\left ( S_{t} \right ) \right ) \triangledown ln\pi _{\theta }\left ( A_{t}\mid S_{t} \right ) \right ]$ 的方差为

$E\left [\left [ \gamma ^{t}\left ( G_{t}-B\left ( S_{t} \right ) \right ) \triangledown ln\pi _{\theta }\left ( A_{t}\mid S_{t} \right ) \right ]^{2} \right ]-\left [ E\left [ \gamma ^{t}\left ( G_{t}-B\left ( S_{t} \right ) \right ) \triangledown ln\pi _{\theta }\left ( A_{t}\mid S_{t} \right ) \right ]\right ]^{2}$

上式关于 $B\left ( S_{t} \right )$ 求偏导，得到

$E\left [ -2\gamma ^{t}\left ( G_{t}-B\left ( S_{t} \right ) \right )\left [ \triangledown ln\pi _{\theta }\left ( A_{t}\mid S_{t} \right ) \right ]^{2} \right ]$

其中求导时存在，

$\frac{\partial }{\partial B\left ( S_{t} \right )}E\left [ \gamma ^{t}\left ( G_{t} -B\left ( S_{t} \right )\right ) \triangledown ln\pi _{\theta }\left ( A_{t}\mid S_{t} \right )\right ]$

$=\frac{\partial }{\partial B\left ( S_{t} \right )}E\left [ \gamma ^{t}G_{t}\triangledown ln\pi _{\theta }\left ( A_{t}\mid S_{t} \right ) \right ]$

$=0$

令上面求得的偏导数为0，并假设 $B\left ( S_{t} \right )$ 与 $\left [ \triangledown ln\pi _{\theta }\left ( A_{t}\mid S_{t} \right ) \right ]^{2}$ 相互独立

$E\left [B\left ( S_{t} \right )\left [ \triangledown ln\pi _{\theta }\left ( A_{t}\mid S_{t} \right ) \right ]^{2} \right ]=E\left [ B\left ( S_{t} \right )\right ]E\left [\left [ \triangledown ln\pi _{\theta }\left ( A_{t}\mid S_{t} \right ) \right ]^{2} \right ]$

可知

$E\left [ B\left ( S_{t} \right ) \right ]=\frac{E\left [ G_{t}\left [ \triangledown ln\pi _{\theta }\left ( A_{t}\mid S_{t} \right ) \right ]^{2} \right ]}{E\left [ \left [ \triangledown ln\pi _{\theta }\left ( A_{t}\mid S_{t} \right ) \right ]^{2} \right ]}$

这意味着，最佳的基线函数应当接近回报 $G_{t}$ 以梯度 $\left [ \triangledown ln\pi _{\theta }\left ( A_{t}\mid S_{t} \right ) \right ]^{2}$ 为权重加权平均的结果。不过，由于梯度 $\triangledown ln\pi _{\theta }\left ( A_{t}\mid S_{t} \right )$ 并不会预先知道，所以实际应用时无法使用这样的基线函数。

原文链接： https://blog.csdn.net/weixin_46133643/article/details/122441656

深度强化学习-带基线的策略梯度算法原理

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